Raíz da equação irracional

Equação Irracional
A soma das raízes da equação x + 1 = 2√x,é:
a)2
b)3
c)4
d)5
e)6


Resposta:

(x + 1) ² = (2Vx)²
x² - 2x + 1 =0
x' = (2 + 0) / 2
x' = 1
x'' = 1
logo 1 + 1 = 2
letra a).

Soma e o produto

Equação do 3ºGrau
A soma e o produto das soluções reais da equação em n, n³ - n² - n = n são, respectivamente:
a)1 e -1
b)1 e 1
c)1 e 0
d)2 e 0
e)3 e 1


Resposta:

n³ - n² - n - n = 0
n³ - n² - 2n = 0
n(n² - n - 2) = 0
logo:
n' = 0
n² - n - 2 = 0
n'' = (1+3) /2---->n'' = 2
n''' = (1- 3 / 2---->n''' = -1
daí:
soma--->0 + 2 - 1 = 1
produto---->0 . 2 . -1 = 0
letra c).

Soma dos quadrados

Números Consecutivos
Dois números inteiros positivos e consecutivos tem 481 como soma dos seus quadrados .Qual o maior deles?
a)13
b)14
c)15
d)16
e)17


Resposta:

x² + (x + 1)² = 481
x² + x - 240 = 0
logo,x = 15 e x + 1 = 16
letra d).

Soma e razão

Sistema de Equações
A soma dos quadrados de dois números é igual a 100 e a razão entre eles é 3/4. O produto desses números,é:
a)18
b)24
c)36
d)48
e)54


Resposta:

a² + b² = 100
a/b = 3/4

4a = 3b
a = 3b/4

(3b/4)²+b² = 100
9b²/16 + b² = 100
9b² + 16b² = 1600
25b² = 1600
b² = 1600/25
b² = 64
b = \/64
b = 8

a = 3b/4
a = 3.8/4
a = 3.2
a = 6
logo,6.8 = 48
letra d).

Achando o conjunto-verdade

Equação Irracional
O valor de x na equação x - 1 = √x + 1,é:
a)-5
b)-4
c)-3
d)3
e)2

Resposta:

(x-1)² = (√x+1)²
x² - 2x + 1 = x + 1
x² - 3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0
x - 3 = 0
x = 3 para x = 0
para x = 3
3-1 = √3+1
2 = √4
2 = 2
x = 3
letra d).

Intensidade do impulso da força

Impulso
Uma partícula de massa 1kg realiza um movimento retilíneo uniforme com velocidade escalar de 3m/s. Uma força constante, paralela a trajetória e no mesmo sentido do movimento, é aplicada á partícula durante 2,0 segundos e sua velocidade passa para 8,0 m/s.Neste caso a intensidade do impulso dessa força,é:
a)20N.s
b)18N.s
c)15N.s
d)10N.s
e)5N.s


Resposta:

m = 1 kg
Vo = 3m/s
V = 8 m/s
∆t = 2 s
a) I = ?
b) F = ?
V = Vo + a.∆t
8 = 3 + a. 2
5 = 2a
a = 5/2
a = 2,5m/s²
F = m x a
F = 1 x 2,5
F = 2,5 N
I = F x ∆t
I = 2,5 x 2
I = 5 N .s
letra e).

Quantidade de litros por minutos

Regra de Três
Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia?
a)207
b)302
c)432
d)702
e)832


Resposta:

39 litros=========5 minutos
x litros=========90 minutos
5x = 3510
x = 702 litros
letra d).

Vacinação das crianças

Operação com Conjuntos
A Secretaria Municipal de Saúde da cidade d Arapongas,analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças da creche Dona Benta,verificou que 68 receberam vacina Sabim,50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?
a)46
b)56
c)64
d)65
e)72


Resposta:

U = universo
U = 84 - 12
U = 72

vacina sabin = A = 68
vacina sarampo = B = 50
n = quantidade
U = n(A) + n(B) - n(A inter B)
72 = 68 + 50 - n(A inter B)
72 - 118 = - n(A inter B)
A inter B = 46
letra a).

Parte real e parte imaginária

Número complexo
O produto (x-3i)(3+xi), em que i é a unidade imaginária, é uma número real, se x é igual a:?
a)±2
b)±3
c)0
d)2
e)3

Resposta:

3x + x²i - 9i - 3xi²
3x + x²i - 9i - 3x(-1)
6x + (x² - 9)i
para ser real x² - 9 ,tem que ser igual a zero,logo vem:
x² -9 = 0
x² = 9
x = ±3
letra b).

Quantidade de arame

Geometria Plana
Augusto comprou um terreno retangular com 15 metros de comprimento por R$ 60.000,00.
Fazendo os cálculos, ele concluiu que o metro quadrado desse terreno custou R$ 400,00. Para evitar invasões, antes de construir um muro de alvenaria, Augusto quer cercar totalmente esse terreno com 4 fileiras de arame; para tanto, ele precisa comprar, de arame:
a)160 m
b)170 m
c)180 m
d)190 m
e)200 m


Resposta:

60.000 / 400 = 150m²
a área é 150 = 15 . h
h = 10 m
o perímetro e 10 + 10 + 15 + 15
perímetro = 50
mas,são 4 fileiras; então temos: 4 . 50 = 200 m
letra e).

Achando o valor numérico

Método da Substituição
Seja a = 7x^4 , b = 56x e y = (a+b) / (x² + 4 - 2x) . 7x,então podemos dizer que o valor de x ,para y = 3, é:
a)1/2
b)5
c)3
d)3/4
e)1


Resposta:

y = 7x(x³ + 8) / (x³ + 4 - 2x).7x
y = (x³ + 2³) / (x³ + 4 - 2x)
y = (x + 2).(x² - 2x + 2²) / (x² - 2x + 2²)
y = x + 2
como y = 3.temos:
x +2 = 3
x = 1
letra e).

Reduzindo a expressão

Expressão Algébrica
Simplificando a expressão: y³ - my² + m²y - m³ sobre (y² - m²)(y² + m²) encontraremos:
a)y + m
b)y - m
c)1/y + m
d)1/y - m
e)y + 1


Resposta:

y²(y - m) + m²(y - m) / (y + m)(y - m)(y² + m²)
(y² + m) ( y + m) / (y² + m²)(y + m) (y - m)
= 1 / y + m
letra c).

Gosto pelos esportes

Operação Com Conjuntos
Uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte brasileiro elas mais apreciaram, nas olimpíadas de pequim 2008, teve o seguinte resultado: 24 pessoas gostaram mais de vôlei,20 gostaram mais de ginástica e 15 gostaram mais de futebol. E mais 9 pessoas gostaram de vôlei e ginástica, 8 gostaram de vôlei e futebol, 5 pessoas gostaram tanto de ginástica quanto de futebol e 2 pessoas gostaram dos 3 esportes.
Pergunta: quantas pessoas não gostaram de nenhum desses esportes na pesquisa?
a)11
b)12
c)13
d)14
e)15


Resposta:

24 - 19 = 5
20 - 16 = 4
15 - 13 = 2
5 + 4 + 2 = 11
11 + 5 + 8 + 2 + 9 = 35
donde 50 - 35 = 15
letra e).

Partindo do repouso

Quantidade de Movimento
Um veículo de 0,3kg parte do repouso com aceleração constante. Após 10s, encontra-se a 40m da posição inicial. Qual o valor da quantidade de movimento nesse instante?
a)1,2kg.m/s
b)2,2kg.m/s
c)3,2kg.m/s
d)4,2kg.m/s
e)5,2kg.m/s

Resposta:

m = 0,3 kg
t = 10 s
s = 40 m
v =?
Q = ?
v = s / t
v = 40 / 10
v = 4m/s
Q = m .v
Q = 0,3 . 4
Q = 1,2kg.m/s
letra a).

Fatorando polinômios

Polinômios
Se P(x) = x³ - 4x² + ax + 6 e P(2) = 0, então P(x) fatorado é igual a:
a) (x + 1)(x - 2)(x - 3)
b) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
c) (x + 1)(x + 2)(x - 3)
d) (x - 1)(x - 2)(x - 3)
e) (x - 1)(x + 2)(x + 3)


Resposta:

p(2) = 8 - 10 + 2a
0 = 2a -2
2a = 2
a = 1
p(x) = x³ - 4x² + x + 6
que fatorado,fica:

(x + 1)(x² - 5x + 6) =
(x + 1)(x - 2))(x - 3)
letra a).

Módulo do número

Sistema de Equações
No sistema abaixo,o módulo da soma de x + y,é:
[-2x + y = 5
[3x = 6 + 2y
a)33
b)23
c)22
d)20
e)19


Resposta:

[-4x + 2y = 10
[3x - 2y = 6
-----------------------
-x = 16
x = -16
32 + y = 5
y = -27
x + y é -16 + (-27) = -33
cujo módulo é 33
letra a).

Soma do menor com o maior

Números Consecutivos
Somando-se três números ímpares consecutivos obtemos 111. A soma do menor com o maior,é:
a)104
b)94
c)84
d)74
e)64


Resposta:

sejam os números a, a + 2 e a + 4
então: a + a + 2 + a + 4 = 111
3a + 6 = 111
3a = 111- 6
3a = 105
a = 105 /3
a = 35
então a + 2 = 37
e a + 4 = 39
prova:
35 + 37 + 39 = 111
logo,35 + 39 = 74
letra d).

Simplificando complexos

Números Complexos
Uma outra forma de escrever a expressão (2 - 3i) + (2 - 5i),é:
a)2 - 4i
b)2 + 8i
c)4 + 8i
d)2(2 - 4i)
e)2(4 - 8i)


Resposta:

2 + 2 - 3i - 5i = 4 - 8i,assim:
4 - 8i = 2(2 - 4i)
letra d).

Produto de arcos

Trigonometria
Na equação senx - cosx = 1/2,senx . cosx,vale:
a)7/8
b)5/8
c)3/8
d)1/4
e)5/4


Resposta:

Sabemos que sen²x + cos²x = 1
e que (senx - cosx)² = sen²x - 2senx.cosx + cos²x
logo fica:
1 - 2senx.cosx = (1/2)²
1 - 2senx.cosx = 1/4
tirando o mmc, vem:
4 - 8senx.cosx = 1
-8senx.cosx = 1 - 4
-8senx.cosx = -3
senx.cosx = 3/8
letra c).

Terça parte do complemento

Geometria Plana
A medida em graus de um ângulo, cuja terça parte da medida de seu complemento mede 10º20’, é: ?
a)55º
b)56°
c)57°
d)58°
e)59º


Resposta:

(90º - x) / 3 = 10º 20'
90º - x = 30º 60'
- x = 31º - 90º
- x = - 59º
x = 59º
letra e).

P.A de quatro termos

Progressão Aritmética
Se em uma P.A, S2 = 10 e S4 = 28, o primeiro termo é x² e a razão é x, então o valor do quarto termo é:
a)10
b)8
c)6
d)4
e)2

Resposta:

a1 = x²
a2 = ?
r = x
logo vem:a2 - a1 = r
a2 - x² = x
a2 = x + x²
a1 + a2 = 10
daí temos:
x² + x + x² = 10
2x² + x = 10
2x² + x - 10 = 0
x' = (-1 + 9) / 4
x' = 2
então para x = 2,vem:
a2 = 2 + 2²
a2 = 6
a3 = 8
a4 = 10
P.A (4, 6,8,10)
letra a).

Soma dos segmentos

Geometria Plana
Os segmentos MN,PQ,RS e OT, nessa ordem são proporcionais. Se MN = 6cm, PQ = (x-5)cm, RS = xcm e OT = (x + 10)cm,então o valor da expressão PQ + RS + OT,é:
a)50cm
b)60cm
c)65cm
d)70cm
e)75cm

Resposta:

MN / PQ = RS / OT
6 / x-5 = x / x+10
x² -5x -6x -60 = 0
x2 - 11x - 60 = 0
x' = 15
x'' = -4(não serve)
logo vem:
PQ = 15 -5 = 10
RS = 15
OT = 15 + 10 = 25
então : PQ + RS + OT = 50
letra a).

Variável no expoente

Equação Exponencial
O número real, que equivale ao valor de x na equação (2)^x² = (16)^(x-1),é:
a)6
b)5
c)4
d)3
e)2


Resposta:

(2)^x² = 2^4(x -1)
x² = 4x - 4
x² - 4x + 4 = 0
x' = x'' = 2
letra e).

Calculando a idade

Sistema de equações
Somando as idades de Luciano e a de seu pai dá 80 anos . A diferença entre as suas idades é de 20 anos .Qual é a idade do pai?
a)70
b)60
c)50
d)40
e)30


Resposta:

x ---pai
y----filho,logo:
[x + y = 80
[x - y = 20
------------
2x = 100
x = 100/2
x = 50
x + y = 80
50 + y = 80
y = 80 - 50
y = 30
letra c).

Medida do ângulo interno

Geometria Plana
PUC - SP)Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a)36°
b)60°
c)72°
d)120°
e)144°


Resposta:

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 360° Como o polígono tem 10 ângulos,então temos:
360 / 10 = 36º
letra a).

Parte real do complexo

Números Complexos
O valor de y, de modo que o número complexo z = (y + 3) + (y² - 4y + 4)i,seja um número real ,é:
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1


Resposta:

Logo para ser real basta que y² - 4y + 4 seja igual à zero,daí vem:
y' = y'' = 2
letra d).

Termo desconhecido da P.A

Progressão Aritmética
Qual o valor de x na PA (x,3/2,-2/3)?
a)11/3
b)11/13
c)11/2
d)11/5
e)11

Resposta:

a1 = x
a2 = 3/2
a3 = -2/3
a3 = a1 + 2r
r = -13/6
-2/3 = x + 2(-13/6)
-2/3 + 13/3 = x
x = 11/3
letra a).

Preço do aparelho de som

Percentagem
Renata resolveu comprar um aparelho de som no valor de R$348,00 em 3 prestações sem juros.O vendedor informou-lhe que ela poderia comprar o mesmo aparelho de som em 5 vezes,mas com 10% de juros.Nesse caso,por quanto sairia,em reais, o aparelho?
a)382,80
b)381,20
c)371,50
d)372,60
e)378,90


Resposta:

10% de R$348,00 = 34,8
logo vem::
348 + 34,8 = R$382,80
letra a).

Operando com radicais

Radiciação
O resultdo de 2 / ³√4,é:
a)³√2
b)³√3
c)³√5
d)3
e)5

Resposta:

Elevando a fração ao cubo, e depois, para que não se altere o valor, extrai-se a raiz cúbica do resultado:

(2/³√4)³ = 8/4 = 2

Agora extraindo a raiz cúbica desse valor:

³√2

Assim temos:

2/³√4 = ³√2
latra a).

Erros e acertos

Sistema de equações
Em um jogo de tiro ao alvo, cada jogador recebe 4 pontos por tiro acertado e perde 2 pontos a cada erro. Sabendo que após 32 tiros um jogador tinha 86 pontos, quantos tiros ele acertou?
a)25
b)30
c)35
d)40
e)45


Resposta:

c---------->acerto
e---------->erro
[4c - 2e = 86
[c + e = 32
-------------------
logo vem:
[4c + 2e = 86
-4c - 8e = -128
-----------------------
6e = 42
e = 7
daí temos:
c + 7 = 32
c = 32 - 7
c = 25
letra a).

Aplicando a Regra de Sarrus

Equações lineares
Considere o seguinte sistema de equações lineares,
2x + y + 3z = 8
4x + 2y + 2z = 4
2x + 5y + 3z = -12
Resolvendo esse sistema, pode-se afirmar que x + y + z vale:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

Resposta:

encontrando o determinante através da regra de Sarrus,temos:

2...1...3
4...2...2 (det a = 32)
2...5...3

8...1...3
4...2...2 (det x = 64)
-12.5..3

2...8...3
4...4...2 (det y = -160)
2.-12..3

2...1...8
4...2...4 (det z = 96)
2...5.-12

x = det x / det a
x = 64/32
x = 2

y = det y / det a
y = -160/32
y = -5

z = det z / det a
z = 96/32
z = 3,daí:
x + y + z
2 - 5+ 3 = 0
letra a).

Custo dos sapatos

Máximo Divisor Comum Zeca, Peu e Biu compraram sapatos. Zeca gastou R$ 144,00 , Peu R$ 72,00 e Biu R$ 120,00.Todos os sapatos custaram o me...