A Soma e a Razão

Progressão Geométrica
Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G finita em que o primeiro termo é -3 e a razão 3.

Resposta:

S6 = a1[(q^n) - 1] / q - 1
S6 = -3[(3^6) - 1] / 3 - 1
S6 = -3[729 - 1] / 2
S6 = -3.728/2
S6 = -1092.

A gorjeta e o Frentista

Problema Envolvendo Fração
Em uma sexta-feira, o total de 180 reais de gorjeta foi repartido igualmente para um certo número de frentistas.No dia seguinte, o valor total das gorjetas alcançou 156 reais; no entanto 2 frentistas deixaram de comparecer ao serviço.
Considerando a sexta-feira e o sábado, a quantia que coube a cada frentista foi exatamente a mesma. Quantos frentistas tem o posto?


Resposta:

x--->número de frentistas
y----->valor que coube à cada um
logo vem:
180/x = y
156/(x-2) = y
daí:
156/(x-2) = 180/x
156x = 180x - 360
24 x = 360
x = 360/24
x = 15 frentistas.

A Transposta da Matriz

Matrizes
A matriz

[1 2 3]
[x y z]
[2 1 z]


admite a transposta:
[1 x 2]
[(x - 2) y 1]
[3x (6 - y) x]


calcule x, y e z.

Resposta:

2 = x -2----->x = 4
3 = 3y----->y = 3/3---> y = 1
z = 6 - y----->z = 6 - 1----->z = 5.

Matriz Inversível

Matrizes
Calcule a inversa da matriz A igual à:
[2 1]
[3 0].

Resposta:

[2 1]
[3 0]
multiplicada por
[a b]
[c d]
igual à
[1 0]
[0 1]
vem:
2a + c = 1
3a + 0 = 0----->a = 0
2.0 + c = 1----->c = 1
2b + d = 0
3b + 0 = 1----->b = 1/3
2.1/3 + d = 0
d = -2/3
a inversa é:
[0 1/3]
[1 -2/3].

Os Sócios e o Capital

Problema Envolvendo Fração
Três sócios têm ao todo um capital de R$21.000,00. O primeiro sócio entrou com o triplo do capital do segundo e este por sua vez entrou com metade do capital do terceiro. Qual é o capital do sócio que entrou com a menor parte?

Resposta:

1º ----->A = 3B
2 º----->B = C/2
A + B +C = 21000
B = A/3
B = C/2
logo:
A/3 = C/2
A = 3C/2
daí:
3C/2 + C/2 + C = 21000
6C = 42000
C = 7000
B = 7000/ 2
B = 3500---->entrou com a menor parte.
A = 3 . B
A = 3.3500
A = 10.500
logo,o 2º sócio foi quem entrou com a menor parte:R$ 3.500,00.

Ângulos Suplementares

Geometria Plana
Dois ângulos são suplementares . A medida de um deles é o triplo da medida do outro . Determine as medidas desses ângulos.

Resposta:

x = 3y
x + y = 180
3y + y = 180
y = 180/4
y = 45º
x = 3. 45º
x = 135º.

A Reta e o Ângulo

Geometria Analítica
Escreva na forma segmentária a equação da reta que passa pelo ponto A(3,-1) tem coeficiente angular m = -5/2.

Resposta:

equação geral : y + 1 = -5/2(x - 3)
-5/2x + 15/2 = y + 1
-5x - 2y +13 = 0
5x + 2y - 13 = 0
equação segmentária:
5x + 2y = 13
5x/13 + 2y/13 = 13/13
5x /13 + 2y/13 = 1.

A Forma Reduzida

Geometria Analítica
Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelo ponto A(3,-1) tem coeficiente angular m = -5/2.

Resposta:

equação geral:
5x + 2y - 13 = 0
equação reduzida:
2y = -5x + 13
y = -5/2x + 13/2.

A Forma e o Ângulo

Geometria Analítica
Escreva na forma geral a equação da reta que passa pelo ponto A(3,-1) e tem coeficiente angular m = -5/2.

Resposta:

equação geral : y + 1 = -5/2(x - 3)
-5/2x + 15/2 = y + 1
-5x - 2y +13 = 0
5x + 2y - 13 = 0.

Quando o Móvel muda de Sentido

Movimento Uniformemente Variado
Um móvel realiza um MUV sobre uma trajetória retilínea obedecendo a função horária S = 5 - 6t + t² (no SI). O instante em que esse móvel muda de sentido é:
a)3s
b)4s
c)5s
d)6s
e)7s

Resposta:

a/2 = 1----->a = 2
V = Vo + at
V = -6 + 2t
se V = -6 + 2t
temos para V = 0,
0 = -6 + 2t
6 = 2t
t = 3s----->
letra a).

A Aceleração e a Velocidade

Equação de Torricelli
Um carro retarda uniformemente seu movimento com aceleração em módulo igual à 5m/s² e pára após um percurso de 40 metros. A velocidade inicial do carro é:
a) 2,0m/s
b) 20m/s
c) 10m/s
d) 25m/s
e) 15m/s

Resposta:

Por Torricelli,temos:
V² = V²o + 2.a .∆s
o = V²o + 2(-5).40
-V²o = - 400
V²o = 400
V = 20m/s----->
letra(b).

Relação entre a Hipotenusa e a Altura

Relação no Triângulo Retângulo
Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 6√3 cm. A medida da altura relativa à hipotenusa é em cm :
a)2
b)3
c)4√3
d)3√3
e)5


Resposta:

a = 12 ,daí vem:
12 . h = 6√3 . 6
12h = 36√3
h = 3√3---->letra d).

A Atuação da Força

Leis de Newton
Uma força horizontal de 10N, é aplicada num bloco A de 6kg a qual, por sua vez, atua em um segundo bloco B de 4kg.Desprezando a força de resistência do ar, quanto mede em Newton a força que um bloco exerce sobre o outro?
a)10
b)9
c)7
d)4
e)3

Resposta:

[F - Fba = Ma . ∂
[ Fab = Mb . ∂
somando as duas expressões,temos:
F = (Ma +Mb) . ∂
10 = 10 . ∂
∂ = 1 m/s²
logo como Fab = Fba ,temos:
Fab = Mb . ∂
Fab = 4 . 1
Fab = Fba = 4N----->letra d).

A PG e o seu 11º termo

Progressão Geométrica
Numa PG de termos reais tem-se a4 = 48 e a7 = 16/9. O 11º termo, é:
a)81
b)4/327
c)16
d)16/729
e)1/27

Resposta:

a7 / a 4,implica em:
q³ = (16/9) / 48
q³ = 1/27
q = 1/3
logo se:
a7 = 16/9
a8 = 16/9 . 1/3 = 16/27
a9 = 16/81
a10 = 16/243
a11= 16/729---->letra d).

A Função e sua Inversa

Função Inversa
Dada a função g(x) = 3x - 1,o valor de g(g(x),é:
a)x - 1
b)9x + 4
c)3x + 2
d)4x - 2
e)2x + 3

Resposta:

g(g(x)) = gog
gog = 3(3x -1) - 1
gog = 9x - 3 - 1
gog = 9x - 4--->letra b).

A Bola e o Menino

Lançamento Vertical
Um menino atira uma bola para cima com velocidade inicial de 60m/s ; sabendo-se que a aceleração é de 10m/s².Qual o tempo total até a bola retornar ao menino e a altura atingida pela bola?
a)9s e 180m
b)12s e 90m
c)6s e 180m
d)12s e 180m
e)6s e 90m

Resposta:

na altura máxima V = 0,logo:
V = Vo - gt
0 = 60 - 10 t
t = 6s--->subida
subida + descida = 6 + 6 = Tempo total = 12s;
h = ho + Vo. t - gt²/2
h = 0 + 60 . 6 - 5. 36
h = 360 - 180
h = 180 m
ou se preferir , por Torricelli vem:
V² = V²o - 2g∆h
o = 60² - 20∆h
20∆h = 3600
∆h = 360/2
∆h = 180 m------->letra d).

Os Esportes e os Alunos

Operação com Conjuntos
Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é:
(A) 116
(B) 142
(C) 166
(D) 176
(E) 194


Resposta:

x ---->número dos que fazem natação e musculação
496 - 94 = 402------>números de alunos que praticam esportes
210 - x------->número dos que fazem só natação
260 - x----->número dos que fazem só musculação
desse modo,temos:
210 - x + x + 260 - x = 402
470 - x = 402
-x = - 68
x = 68
logo: 210 - 68 = 142 alunos------>letra (B).

A Reta e a Distância

Geometria Analítica
A distância entre o ponto P(5,2) e a reta que passa pelos pontos A(0,2) e B(4,5), é:
a)10
b)7
c)6
d)5
e)3

Resposta:

xo = 5 e yo = 2
e a reta é:
obtida através do determinante de:
[0 2 1 0 2]
[4 5 1 4 5]
[x y 1 x y]
igual à zero.
Logo vem:
(0 + 2x + 4y ) - (5x + 0 + 8) = 0
-3x + 4y - 8 = 0
a reta é: r : 3x - 4y + 8 = 0
onde:a = 3 ; b = -4 e c = 8
dp,r = (I axo + byoI) / √(a² + b²)
dp,r = (I3.5 + (-4).2 + 8I) / √(3² + (-4)²)
dp,r = 15 / 5
dp,r = 3----->letra e).

Soma dos Números

Sistema de Equações
A soma de x e y no sistema:
[3x - 7y = 23
[2x + 3y = 23, é:
a)11
b)4
c)3
d)2
e)32

Resposta:

6x - 14y = 46
-6x -9y = -69
_____________
-23y = -23
y = 1
logo:
3x - 7.1 =23
3x = 23 + 7
3x = 30
x = 10
x + y---->10 + 1 = 11--->letra a).

A Velocidade e o Ângulo

Lançamento Oblíquo
(UECE) Num lugar em que g = 10 m/s², lançamos um projétil com a velocidade de 100 m/s e formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30°. A altura máxima será atingida após:

a) 3 s
b) 4s
c) 5 s
d) 10 s
e) 15 s


Resposta:

Tsubida = Vo . senθ / g
Tsub = 100 . sen 30º / 10
Tsub = 10 . 1/2
Tsub = 5s------>letra c).

Quadrado da Soma

Produto Notável
Desenvolva o produto notável (2xy + 4) ².

Resposta:

(2xy)² + 2.2xy.4 + 4² =
4x²y² + 16xy + 16.

Área Reservada

Problema envolvendo fração
Uma fazenda,de 84 hectares, foi dividida da seguinte forma:
1/21 da área para moradia ;
1/3 da área para reserva florestal ;
3/7 da área para plantação
e o restante em área de pasto.A medida da área reservada ao pasto é:
a)16 hectares
b)26 hectares
c)36 hectares
d)46 hectares
e)56 hectares

Resposta:

para a plantação temos: 3/7 de 84 = 36 ha
para a reserva florestal temos 1/3 de 84 = 28 ha
para moradia temos:1/21 de 84 = 4 ha
para o pasto vem: 84 - ( 36 + 28 + 4 ) = 84 - 68 = 16 ha---->letra a.




A Expressão e seu Valor

Expressão Numérica
O valor numérico da expressão 100 - 3.[20 - 2.(18/2-6)] é:
a)impar
b)58
c)divisível por 3
d)7
e)0,8


Resposta:

100 - 3 . [20 - 2.3]
100 - 3 . 14
100 - 42
= 58---->letra b).

O Valor da Cossecante

Trigonometria
Se sen x = (√5)/4,calcule cossec x.

Resposta:

cossec x = 1/cos x
logo vem
sen² x + cos² x = 1
(√(5)/4)² + cos² x = 1
5/16 + cos² x = 1
cos² x = 1 - 5/16
cos x = ±√(11)/16
cos x = ±√(11) / 4
cossec x = 1 /cos x
cossec x = ± 4 √(11) / 11.

O Quociente e os Coeficientes

Binômio de Newton
No desenvolvimento de [ x³ + (1/x²)]^5 o quociente dos coeficientes do termo x elevado a 5 e do termo independente de x é?
a)1
b)2
c)4
d)8
e)16


Resposta:

[x³ + (1/x²)]^5 ,implica em:
C(5,p)(x³)^5-p . (1/x²)^p
C(5,p)x^15 - 3p . x-²p
x^15 - 3p - 2p = x^5
15 - 5p = 5
p = 2
logo vem:
C(5,2) = 5! / 3! 2!
C(5,2) = 10----->coeficiente = 10
para o termo independente de x,temos:
x^15 - 3p - 2p = x^0
15 - 5p = 0
p = 3
daí vem:
C(5,3) = 5! / 2! 3!
C(5,3) = 10
o quociente 10 / 10 é igual à 1(um).
letra a).


O Perímetro e a Razão

Geometria Plana
Dois triângulos semelhantes possuem perímetros iguais a 80 cm e 64 cm, respectivamente. Qual a razão de semelhança do perímetro do menor triângulo para o maior?

Resposta:

2p = 80 cm
2p' = 64 cm
menor perímetro = 64
maior perímetro = 80,daí vem:
2p' / 2p
64 /80
32 / 40
16 / 20
8 / 10
4 / 5----->que é a razão procurada.

Soma do 2º com o 9º

Progressão
A soma dos 15 primeiros termos de ordem par de uma PA, onde :
a1 + a6 = 27 e a2 + a9 = 39, é:
a)765
b)750
c)740
d)720
e)735

Resposta:

2a1 + 5r = 27(1)
[2a1 + 9r = 39(2)
multiplicando (1) por -1 e somando com (2),temos:
4r = 12
r = 3
2a1 + 5.3 = 27
2a1 = 12
a1 = 6
logo a1 + r = a2
a2 = 9
a30 = a1 + 29r
a30 = 6 + 29.3
a30 = 93
n = 15
S15 = (a2 + a30).n/2
S15 = (9 + 93).15/2
S15 = (102).15/2
S15 = 765----->letra a).

Achando o Zero da Função

Estudo da Reta
Qual é o zero da função afim cujo gráfico, que é uma reta, passa pelos pontos (2,5) e (-1, 6) ?

Resposta:

Fazendo o determinante de
[ 2 5 1 2 5]
[-1 6 1 -1 6]
[ x y 1 x y]
igual a zero ,achamos a equação procurada,logo:
12 + 5x - y - (6x + 2y - 5) = 0
12 + 5x - y - 6x - 2y + 5 = 0
-x - 3y + 17 = 0
-3y = x - 17
3y = -x + 17
y = -x/3 + 17/3------>equação procurada
para y = 0,temos:
-x/3 + 17/3 = 0
-x + 17 = 0
-x = -17
x = 17--->que é o zero da função.

Custo dos sapatos

Máximo Divisor Comum Zeca, Peu e Biu compraram sapatos. Zeca gastou R$ 144,00 , Peu R$ 72,00 e Biu R$ 120,00.Todos os sapatos custaram o me...