Polinômios-Simplificação

Polinômios
Simplifique:
(a+3b)²-(a-3b)²+(-2b)².


Resposta:

a² + 6ab + 9b² - (a² - 6ab + 9b²) + 4b²
12ab + 4b²
4b(3a + b).

Obtendo a Equação da circunferência

Equação da circunferência
Uma circunferência com centro C ( -1,2 ) passa pelo ponto P (2,0 ). Qual é a equação da circunferência?

Resposta:

r = dcp = √[(2+1)² + (0-2)²]
r =√[( 3²) +(-2)² ]
r = √13
logo:
(x -xc)² + (y-yc)² = r²
(x +1)² + (y-2)² = 13.

A Distância e o Tempo de voo

Regra de Três
Um avião percorre 2700km em quatro horas . Em uma hora e 20 minutos de voo quantos quilômetros percorrerá ?

Resposta:

se 4h = 240min,então:
240 min-------------->2700km
80min------------>x
x = 80.270 / 24
x = 900 km.

Obtendo o valor de k

Função do 1º Grau
Obtenha o valor da constante k em f(x) = 2x +k , dado que f(-1) = 5.

Resposta:

f(-1) = 2(-1) + k
5 = -2 + k
5 + 2 = k
k = 7.

Descobrindo a Matriz

Matriz
Determine a seguinte matriz A = (a i j) 2x3 tal que a i j = {2 se i = j } e
{i + j se i ≠ j }.


Resposta:

[a11 a12 a13]
[a21 a22 a23],
logo fica:

[2 3 4]
[3 2 5].

O Vendedor Trambiqueiro

Regra de Três
Uma balança de dois pratos é usada para pesar 2,5kg de peixe,do seguinte modo:num prato esta o peixe,no outro uma massa de 2 kg e mais uma massa etiquetada por 500g.O peixe contem,em suas vísceras,um pedaço de chumbo de 200g.
Ocorre que a massa etiquetada por 500g,tem na verdade 300g.
Se 1 kg desse peixe custa R$12,60,o comprador do peixe pagará quanto, na verdade,por 1kg de peixe?
a)R$12,80
b)R$13,23
c)R$14,00
d)R$15,00
e)R$16,00

Resposta:

2,5 kg x 12,60 = 31,50
mas, na realidade ele só está levando 2,1 kg de peixe(2,5kg - 200g - 200g )
logo :
2,1 kg ======>R$ 31,50
1 kg========> x
x = R$ 15,00 ( de verdade o kg do peixe está saindo para o comprador por R$ 15,00)
letra d).

Comprimento do Trem e do Túnel

Cinemática Escalar
Um trem de 200m de comprimento com velocidade de 108km/h,gasta quanto tempo para atravessar um túnel de 1600m de comprimento?
a)60 segundos
b)2 minutos
c)60 minutos
d)1 hora
e)2 horas

Resposta:

∆s = 200 + 1600 = 1800
V = 108km/h = 30 m/s
∆t = ?
V = ∆s / ∆t
30 = 1800 /∆t
∆t = 1800/30
∆t = 60 s = 1 minuto
letra a).

As Raízes Positivas

Equação Biquadrada
O produto das raízes positivas de (x²)² - 11x² + 18 = 0 vale:
a)2√3
b)3√2
c)4√3
d)4√2
e)5√3


Resposta:

(x²)² -11x² + 18 = 0
x² = y
y² - 11y + 18 = 0
(11 ±√49) / 2
y' = 9
y'' = 2
logo:
x² = 9
x = ±√9
x' = ±3
x² = 2
x'' = ±√2
produto das raízes positivas:
3 . √2 = 3√2
A resposta é letra b).

A Área do Triângulo Retângulo

Geometria Plana
As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo, são dadas pelas raízes da equação x² - 9x + 20 = 0. A área desse triângulo é:
a)10
b)6
c)12
d)15
e)20


Resposta:

x' + x'' = 9,daí : 5 + 4 = 9
x' . x'' = 20.daí: 5 . 4 = 20
cateto igual a 4
hipotenusa igual a 5
5² = 4² + z²
25 = 16 + z²
z² = 9
z = 3
área do triângulo:
S = b.h / 2
S = 3 .4 / 2
S = 12/2
S = 6
letra b).

Raízes Não Nulas

Equação do 2º Grau
Se a e b são raízes não nulas da equação x² - 6ax + 8b = 0, calculando 2a + b, temos :
a)5
b)42
c)48
d)56
e)40


Resposta:

x' + x'' = -b/a
a + b = 6a (I)
x' . x'' = c/a
a . b = 8b (II)
de (I),temos:
b = 6a -a
b = 5a
de (II),temos:
a = 8b/b
a = 8
b = 5.8
b = 40
dai´vem:
2a + b======>2.(8) + 40=====>16 + 40 = 56
letra d).

Soluções Reais

Equação Biquadrada
A equação (x²)² - 2b²x² + 1 = 0

a) não tem soluções reais se b for maior que -1 e menor que 1
b) sempre tem apenas uma solução real.
c) tem apenas duas soluções reais se b for menor que 1.
d) sempre tem quatro soluções reais.
e) tem quatro soluções reais se b = 0

Resposta:

começamos verificando a letra a)
se b é maior que -1 e menor que 1,implica em b = 0,daí:
(x²)² - 2.0².x² + 1 = 0
(x²)² + 1 = 0
fazendo x² = y,
vem: y² + 1 = 0
y² = 0 -1
y² = -1
y = ±√-1=====>não existe raiz quadrada de número negativo;
assim não tem soluções reais quando b for maior que -1 e menor que 1.

letra a).


As Viaturas da Polícia Militar

Mínimo Múltiplo Comum
Duas viaturas da Polícia Militar partem simultâneamente de uma mesma delegacia, percorrendo rotas diferentes.A primeira viatura retorna à delegacia a cada 40 minutos e a segunda, a cada 50 minutos. Se as viaturas saíram às 20 horas, que horas elas estarão novamente juntas na delegacia?

Resposta:

mmc (40,50) = 200 minutos
200 minutos = 3horas e 20minutos
20:00 + 3: 20 = 23:20h.

Menor Ângulo entre os Ponteiros

Operação com Medida de Ângulos
Qual o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às 10h10 ?

Resposta:

30 .10 + 0,5 . 10 = 305º
360 - 305 = 55º
mas, 6.10 = 60º
logo, 60º + 55º = 115º
o menor ângulo é de 115°.

Altura do Trapézio

Geometria Plana
A soma das bases de um trapézio é 15cm . Sabendo que a área é 30cm², determine a altura do trapézio.

Resposta:

S = (B + b) . h / 2
30 = (15). h / 2
15h = 60
h = 60 /2
h = 4cm.

Os Carros e as Motos

Sistema de Equações
Em uma oficina há carros e motos, num total de 18 veículos e 56 rodas. Quantos carros existem nessa oficina?

Resposta:

[c + m = 18
[4c + 2m = 56
[-2c - 2m = -36
[4c + 2m = 56
--------------------
2c = 20
c =20 /2
c = 10
existem 10 carros.

Tempo do Percurso

Movimento Uniforme
Uma pessoa percorre 12 km com velocidade de 20 km/h.Qual é o tempo do percurso em segundos ?

Resposta:

v = s / t
20 = 12 / t
t = 20 /12
t = 0,6 h;
1hora-------->60 minutos
0,6hora-----> x
x = 36 minutos
1 minuto------->60 segundos
36 minutos------>x
x = 2160 segundos.

Complemento de um ângulo

Geometria plana
Qual o complementar do ângulo de 64º28'41''?

Resposta:

89º 59' 60''
64º 28' 41'' -
------------------
25º 31' 19''

Área do Círculo

Geometria Plana
A área de um círculo é de 289π cm². Qual a medida de seu diâmetro?
a)8,5 cm
b)9,5 cm
c)17 cm
d)34 cm
e)19 cm

Resposta:

S = π .r²
289 π = π.r²
r² = 289
r = 17
D = 2r
D = 2.17
D = 34 cm
letra d).

Percurso à Pé

Movimento Uniforme
Qual é a velocidade média em km/h, de uma pessoa que percorre a pé, 1.200 m em 20 minutos?

Resposta:

1 min ------------->60s
20min------------>x
x = 1200s
V = s / t
V = 1200 / 1200
V = 1 m/s
1 . 3,6 = 3,6 km/h.

Tempo Gasto no Percurso

Movimento Uniforme
Um automóvel faz um percurso de 8 km com velocidade média de 20m/s. Calcule o tempo gasto no percurso.

Resposta:

20 m/s = 20 . 3,6 = 72km/h
V = s /t
72 = 8 / t
t = 72/8
t = 9 h.

O Conjunto-Verdade

Equação Irracional
Qual o conjunto-verdade da equação x - 1 = √(x+1)?
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

Resposta:

(x-1)² = (√x+1)²
x²-2x+1 = x+1
x²-3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0
x-3 = 0
x = 3
para x = 3
3-1 = √3+1
2 = √4
2 = 2
x = 3,é o conjunto-verdade da equação

letra a).

O Tempo Gasto

Queda Livre
Um objeto cai de um edifício de 300 m de altura. Calcule a velocidade e o tempo gasto para chegar ao solo.

Resposta:

Vo = 0
g = 10m/s²
a) V = ?
b) t = ?
a)por Torricelli,vem:
V² = V²o + 2g∆s
V² = 0² + 2.10.300
V² = 6000
V = √6000
V = √(6.10.10²)
V = 10√60 m/s
b) V = Vo + g.t
10 √60 = 0 + 10.t
10t = 10 √60
t = 10 √60 / 10
t = √60 s.

Impulso de uma Força

Teorema do Impulso
Uma partícula de massa 1kg realiza um movimento retilíneo uniforme com velocidade escalar de 3m/s. Uma força constante, paralela à trajetória e no mesmo sentido do movimento, é aplicada à partícula durante 2,0 segundos e sua velocidade passa para 8,0 m/s. Determine:
a) a intensidade do impulso dessa força ;
b)a intensidade da força .

Resposta:

m = 1 kg
Vo = 3m/s
V = 8 m/s
∆t = 2 s
a) I = ?
b) F = ?
V = Vo + a.∆t
8 = 3 + a. 2
5 = 2a
a = 5/2
a = 2,5m/s²
a)F = m x a
F = 1 x 2,5
F = 2,5 N
b)I = F x ∆t
I = 2,5 x 2
I = 5 N .s

Divisão do Lucro

Grandezas Proporcionais
Três mulheres tornam-se sócias de uma loja. Permanecem trabalhando nessa loja, respectivamente, 3,5 e 6 horas por dia. Se o lucro total de um ano foi de R$ 280. 000,00. Qual é o ganho de cada uma, supondo que a divisão seja em partes diretamente proporcionais às horas de permanência na loja?

Resposta:

Para facilitar divide-se 280.000,00 por 1000;
então fica 280,daí vem:
x + y + z = 280
3 + 5 + 6 = 14
a razão de proporção é:280 / 14
assim temos:
280/14 = x/3
14 x = 840
x = 60
280 /14 = y/5
14y = 1400
y = 100
280 / 14 = z/ 6
14z = 1680
z = 120
logo para não haver alteração,multiplica-se os valores encontrados por 1000,resultando:
x = 60.000,00
y = 100.000,00
z = 120.000,00

A Soma de x e y

Sistema de Equações
No sistema
[2x + 6y = 46
[-3x + 2y = 19,a soma de x e y,é:
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6


Resposta:

[4x + 12y = 92
[18x - 12y = -114
daí:
22x = -22
x = -1
2(-1) + 6y = 46
-2 - 46 = -6y
6y = 48
y = 8.
x + y---> -1 + 8
x + y = 7
letra d).

Ângulos Adjacentes

Geometria Plana
Dois ângulos adjacentes têm suas medidas expressas em graus por 10x + 20º e 5x + 10º , respectivamente .Calcule a medida do suplementar de 12x - 17º.

Resposta:

5x + 10º + 10x + 20º = 180º
15x = 150º
x = 10º
então,12.10 - 17º ------->120 - 17 = 103º
donde: 180º - 103º = 77º
o suplementar mede 77º.

A Taxa de Juros

Percentagem
Para comprar um sapato de R$ 80,00, Zeca deu um cheque pré-datado de R$ 84,20. Qual a taxa de juros cobrada ?

Resposta:

84,20 - 80,00 = 4,20
se
80,00------------>100%
4,20----------> x
80x = 420
x = 420/80
x = 5,25%--->taxa cobrada.

Simplificando Polinômios

Polinômios
Ao simplificar (2a+b).(2a-b,encontramos:
a)(2a)² - b²
b)a + b
c)2a - b
d)a² + b
e)2a + b²


Resposta:

2a.2a - 2a.b +b.2a - b.b
4a² -2ab + 2ab - b²
4a² - b²
que é o mesmo que (2a)² - b²
letra a).

Polinômios Equivalentes

Polinômios
A expressão (a+3b)²-(a-3b)²+(-2b)²,é equivalente à:
a)4b(3a + b)
b)3a
c)12b
d)4a
e)3a(4b - a)

Resposta:

a² + 6ab + 9b² - (a² - 6ab + 9b²) + 4b²
12ab + 4b²
4b(3a + b)
letra a).

Quíntuplo da Idade Que Tinha

Equação do 1ª Grau
Se ao triplo da minha idade, subtrairmos o quíntuplo da idade que eu tinha há 12 anos,encontramos a minha idade atual.Quantos anos tenho atualmente?

Resposta:

3x - 5(x-12) = x
3x - x - 5x + 60 = 0
-3x = -60
x = 20
minha idade atual é 20 anos.

A Fração de Uma Fração

Números Fracionários
Ao simplificar a fração 1,5/100,encontramos:
a)0,015
b)200/3
c)3/2
d)0,06
e)100


Resposta:

15/10 : 100
15/10 x 1/100
15 / 1000 = 0,015
letra a).

Zeros da Equação

Equação do 2º Grau
Quais os zeros de x(x - 2) = -5?

Resposta:

x² -2x + 5 = 0
(2 ±√-16) / 2
x' =( 2 + 4i) / 2
x' = 1 + 2i
x'' = 1 - 2i.

Total de visitantes

Equação do 1º Grau Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas ...