As questões certas e as erradas

Problema do 1º grau
Um estudante realizou um teste que continha 50 questões. Para cada questão certa, ele ganhava 5 pontos, e para cada errada, perdia 3 pontos. O estudante fez um total de 130 pontos. A diferença entre as questões que ele acertou e as que ele errou,é:
a)33
b)30
c)23
d)20
e)13

Resposta:

certa = c
errada = e

{c + e = 50
{5c - 3e = 130


c = 50 - e


5(50 - e) - 3e = 130
250 - 5e - 3e = 130
-8e = 130 - 250
-8e = -120
e = 120 / 8
e = 15

c = 50 - e
c = 50 - 15
c = 35
c - e = 35 - 15 = 20
letra d).

O problema do tijolo

Equação do 1º grau
se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo,quanto pesa um tijolo e meio?
a)2kg
b)2,5kg
c)3kg
d)3,5kg
e)4kg

Resposta:

t = tijolo

1t =1 kg + 0,5t
1t - 0,5t = 1kg
0,5t = 1kg
então 1t = 2kg
1,5t = 3kg
letra c).

O salário de João

Operação com Fração
João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a:
a)R$ 1500,00
b)R$ 1400,00
c)R$ 1350,00
d)R$ 1200,00
e)R$ 1150,00


Resposta:

x = salário de João

aluguel = x/3

1ª sobra = x - x/3 = 3x/3 - x/3 = 2x/3

alimentação = 2/5 * 2x/3 = 4x/15

2ª sobra = 2x/3 - 4x/15 → mmc(3,15) = 15 → 10x/15 - 4x/15 = 6x/15

6x/15 = 480
6x = 480 * 15 = 7200
x = 7200/6
x = R$ 1.200,00
letra d).

quarta parte do suplemento

Geometria Plana
A medida de um ângulo é igual à quarta parte da medida do seu suplemento. A medida desse ângulo é em graus::
a)60
b)45
c)36
d)90
e)120

Resposta:

x = 1/4(180 - x)
4x = 180 - x
5x = 180
x = 180/5
x =3 6
36º
letra c).

O alfaiate e a peça de roupa

Operação Envolvendo Fração
Um alfaiate comprou uma peça de linho para fazer 4 camisas. Na primeira ele usou 1/4 de peça; na segunda 1/3 ;na terceira 1/6 da peça e na quarta 1/4 da peça. Depois que o alfaiate fez as quatro camisas, quanto sobrou de peça?

Resposta:

1/4 + 1/3 + 1/6 + 1/4=
3/12 + 4/12 + 2/12 + 3/12=
12/12
= 1
Não sobrou nada da peça.

Valor da diagonal maior

Geometria Plana
A diagonal menor de um losango mede 6cm e a área é igual a 30cm².A medida da outra diagonal,vale em cm:
a)6
b)7
c)8
d)9
e)10

Resposta:

S = Área = D.d/2
D = diagonal maior
d = diagonal menor
d = 6cm
S = 30 cm²
D=?

S = D.d/2
D.d = 2S
D = 2S / d
D = 2(30)/6
D = 10 cm
letra e).

Soma dos fatores

Fatoração
Um número é múltiplo de 6 e composto por três fatores primos. O m.d.c entre o número e 140 é 14. A soma dos fatores que compõem esse número é :
a)9
b)11
c)12
d)14
e)15


Resposta:

m.d.c(140,x) = 14
e x é divisível por 6,logo vem:
140 = 2² . 5 . 7
x = 2 . .3 .7 = 42
m.d.c = 2 . 7(produto de fatores comuns com o menor expoente)
a soma é: 2 + 3 + 7 = 12
letra c).

Inserindo meios aritméticos

Progressão Aritmética
Interpole 12 meios aritméticos entre 100 e 200.

Resposta:

n = 14
a1 = 100
a14 = 200
a14 = a1 + 13r
200 = 100 + 13r
100 = 13r
r = 100/13
P.A (100, 1400/13, 1500/13, 1600/13, 1700/13, 1800/13, 1900/13, 2000/13, 2100/13, 2200/13, 2300/13, 2400/13, 2500/13, 200)

Encontrando o valor numérico

Função Composta
Dadas as funções f(x) = x² - 5x + 6 e g(x) = x + 4,calcule x para que f (2) + g (x) = g (f(4) ).

Resposta:

g(f(4)) = 4² - 5.4 + 6 + 4
g(f(4)) = 6,logo vem:
2² - 5.2 + 6 + x + 4 = 6
x = 6 - 4
x = 2

Achando o 1º termo

Progressão Geométrica
Sabe-se que numa P.G. a soma do 3° com o 5° termo vale 90 e a soma do 4° termo com o 6° vale 270. Calcule o 1° termo desta progressão geométrica.

Resposta:

a1.q³ + a1.q^5 = 270
a1.q² + a1.q^4 = 90
preparando o sistema ,fica:
[a1.q³(1 + q²) = 270 (I)
[a1.q²(1 + q²) = 90 (II)
dividindo (I) por (II),vem:
q = 3
logo a1 . 9(1 + 9) = 90
a1.90 = 90
a1 = 90 /90
a1 = 1

Achando a razão

Progressão Aritmética
Determine a razão da P.A tal que a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18.

Resposta:

[-2a1 - 3r = -12
[2a1 + 6r = 18
--------------------
3r = 6
r = 2

Achando a composta

Função
Dada as funções f(x) = 2 + 3x e g(x) = x + a, determine o valor de a de modo que f(g(x)) = g(f(x)).

Resposta:

f(g(x)) = 2 + 3(x + a)
g(f(x)) = 2 + 3x + a
2 + 3x + 3a = 2 + 3x + a
2a = 0
a = 0

Equação trigonométrica

Trigonometria
Sabendo que tgx + cotgx = 3,então o valor de sen 2x,é:
a)3/2
b)2/3
c)3/5
d)5/3
e)1


Resposta:

senx /cosx + cosx / senx = 3
sen²x + cos²x = 3senxcosx
1 = 3senxcosx
senxcosx = 1/3
como sen2x = 2.senxcosx,vem:
sen2x = 2.1/3
sen2x = 2/3
letra b).

Expressão trigonométrica

Trigonometria
O valor de sec60º + sec45º – cossec30º + cossec315º,é:
a)zero
b)1/2
c)1
d)2
e)3


Resposta:


1/cos60 + 1 / cos45 - 1/sen30 + 1/sen315 =
2 + 2/V2 - 2 - 2/V2 =
0
letra a).

O comprimento da estrada

Medida de Comprimento
Um motorista percorre uma estrada em 2 etapas.Na primeira etapa, anda 80 quilômetros por hora, durante 3 horas e na segunda, anda 90 quilômetros por hora, em 1 hora e 30 minutos.Quantos quilômetros ele percorreu?
a)185
b)195
c)275
d)375
e)495

Resposta:

1)V = s1 /t
80 = s1 / 3
s1 = 240km
2)V = s2 / t
90 = s2 / 1,5
s = 135
Stotal = s1 +s2
Stotal = 375km
letra d).

Operação com medidas não-decimais

Problema envolvendo medida de tempo
Uma sessão de cinema começou as 8 horas 59 minutos e 58 segundos e terminou as 11 horas 02 minutos 21 segundos.Quanto tempo durou a sessão?
a)12 horas, 19 minutos e 5 segundos
b)10 horas
c)11 horas e 10 minutos
d)meia hora
e)02 horas , 02 minutos e 23 segundos


Resposta:

10h 61min. 81seg.
-8h 59min. 58seg.
------------------------------
2h 02min. 23seg.
letra e).

Quantidade de pratos quebrados

Sistema de equações
Em um concurso de tiro ao prato, cada disparo certo, dava 6 pontos e cada disparo errado, tirava 2 pontos.Um atirador em 22 tiros fez 84 pontos. Quantos pratos ele quebrou?
a)7
b)9
c)10
d)12
e)16



Resposta:

[c + e = 22-------->c = 22 - e
[6c - 2e = 84------>c = (84 + 2e) / 6
-----------------
22 - e = (84 + 2e) / 6
132 - 6e = 84 + 2e
8e = 48
e = 6
daí vem:
c = 22 - e
c = 22 - 6
c = 16
logo ele quebrou 16 pratos
letra e).

A pavimenteção da estrada

Regra de Três
Para pavimentar 4,0km de uma estrada, 40 homens
demoram 16 dias. Aumentando a quantidade de homens
em 20%, e admitindo-se que os novos homens tenham o
mesmo ritmo de trabalho que os anteriores, o tempo que
eles vão demorar para pavimentar 5,0km dessa estrada é
igual a:
a)16 dias e 16 horas.
b)16 dias e 8 horas.
c)16 dias e 4 horas.
d)15 dias e 16 horas.
e)15 dias e 4 horas.

Resposta:

16dias------->4 Km -------->40 homens
x dias-------->5 Km--------->48homens
logo:
16 /x = 4,8 /5
x = 50 /3
x = 16 dias e 16 horas
letra a).

A pilha de discos

Progressão Aritmética
Uma pilha de discos iguais: 3 discos no primeiro andar, 4 discos no segundo andar, 5 discos no terceiro, 6 no quarto, e assim por diante. Se a pilha tiver 60 andares, a quantidade total de discos será de?
a)1550
b)1650
c)1750
d)1850
e)1950


Resposta:

a60 = a1 + 59r
a60 = 3 + 59
a60 = 62
S60 = (a1 + a60).n / 2
S60 = (3 + 62).60/2
S60 = 65. 30
S60 = 1950 discos
letra e).

Divisão diretamente proporcional

Proporção
Uma empresa tem três fábricas, a primeira 420 funcionários,a segunda com 540, e a terceira, com 630. Em 2010, essa empresa pretende investir certa quantia para melhorar as instalações de suas fábricas. Se o dinheiro destinado a cada fábrica for diretamente proporcional ao número de funcionários que nela trabalham, quanto receberá, em reais, a primeira fábrica, considerando que as duas outras fábricas recebam, juntas, R$ 390.000,00?
a)140.000,00
b)150.000,00
c)180.000,00
d)190.000,00
e)210.000,00

Resposta:


420 = 2² . 3 . 5 . 7
540 = 2² . 3³ . 5
630 = 2 . 3² . 5 . 7
mdc(420,540,630) = 2 . 3 . 5 = 30
420/30 = 14 → 1ª fábrica
540/30 = 18 → 2ª fábrica
630/30 = 21 → 3ª fábrica
Como 390.000 está relacionado à soma do que recebem as duas últimas fábricas, vem:
18 + 21 = 39

39 — 390.000
14 — x

x = 14 . 390000/39 = 14 . 10000
x = R$140.000,00

letra a).

Simplificando expressão

Fatoração
Se x + y = 1 e x² + y² = 2, então x³ + y³ é igual a:
a)4,5
b)3,5
c)2,5
d)1,5
e)0,5


Resposta:

x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²)
x³ + y³ = 1 .(x² + y² - xy)
x³ + y³ = 1. (2 - xy)
x³ + y³ = 2 - xy
mas:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(1)² = x² + y² + 2xy
1 = 2 + 2xy
2xy = 1 - 2
2xy = - 1
xy = - 1/2
logo vem:
x³ + y³ = 2 - ( - 1/2)
x³ + y³ = 2 + 1/2
x³ + y³ = 5/2
x³ + y³ = 2,5
letra c).

Toda progressão é uma sucessão

Progressão Aritmética
A sucessão ( m; 2m + 1; 8) é uma P.A. Sua razão é:
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7


Resposta:

8 -(2m + 1) = 2m + 1 - m
-3m = -6
m = 2
mas, a3 = a1 + 2r
8 = m + 2r
2r = 8 - m
r = (8 - m) /2
r = (8 - 2) /2
r = 6/2
r = 3
letra a).

Função composta

Função
Dados f(x): -5x + J e g(x)+ 4x - 3, o valor de J para que f(g(x)) = g(f(x),é:
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6

Resposta:

f(g(x)) = -20x + 15 + j
g(f(x)) = -20x + 4j - 3
logo vem:
-20x + 15 + j = -20x + 4j - 3
3j = 18
j = 6
letra e).

O preço de custo

Percentagem
O preço de venda de um bem de consumo é de R$100,00.O comerciante tem um ganho de 25%sobre o preço de custo deste bem.O valor do preço de custo é,em reais:
a)50
b)60
c)70
d)80
e)90


Resposta:

Esse problema pode ser resolvido pela fórmula: M = c(1 +i.t)
onde M = preço de venda
c = preço de custo
i = percentual aplicado
t = 1,pois o ganho é imediato.logo vem:
100 = c(1 + 0,25.1)
100 = c(1,25)
c = 100 / 1,25
c = 10000 / 125
c = R$ 80,00
Prova:
R$ 80,00 + 25% = R$100,00
letra d).

Número na base dois

Mudança de Base
Passando da base dez para a base binária o número 72,temos:
a)1021000
b)1011000
c)1000100
d)1001110
e)1001000

Resposta:

72_2_
0 ... 36_2_
.......0 .. 18_2_
.............0 .. 9_2_
...................1 ..4_2_
........................0 ..2_2_
.............................0.. 1
logo:
72 = 1001000 na base 2
observação: basta ir dividindo por 2
letra e).

Idade de Rebeca

Sistema de Equações
Quando Rebeca nasceu, Sofia tinha 3 anos. Daqui dois anos, o produto das suas idades será 70.Qual a idade de Rebeca hoje?
a)8 anos
b)7 anos
c)6 anos
d)5 anos
e)4 anos


Resposta:

s--->Sofia
r --->Rebeca
s = r + 3
s . r = 70
logo:
(r + 3) .r = 70
r² + 3r - 70 = 0
r = (-3 + 17) / 2
r' = 14/2
r' = 7
logo ,hoje Rebeca tem 7 - 2 = 5 anos;
daqui a dois ele terá 7 anos e Sofia 10 anos
letra d).

Medidas não-decimais

Operação com medida de ângulo
Quantos segundos tem 15graus 5minutos 2segundos?
a)54302
b)55600
c)56785
d)66400
e)66430

Resposta:

15 x 60minutos = 900minutos + 5minutos = 905 minutos
905 minutos x 60segundos = 54300segundos + 2segundos = 54302segundos
letra a).

A velocidade do trem

Problema envolvendo medidas
Um trem com velocidade média de 57,4 km/h deve fazer certa distância em 5 horas. Depois de duas horas de viagem, teve que parar por 40 minutos. A velocidade que o maquinista deve acrescentar ao trem para chegar ao final da distância no tempo previsto deverá ser de:
a)16,4km/h
b)17,2km/h
c)18,0km/h
d)21,2km/h
e)23 km/h


Resposta:

Vm = 57,4 km/h
t = 5h
S = Vm.t =(57,4).5 = 287km

Tempo parado = 40min. ou (2/3)h

Tempo restante = 5 -(2+2/3) = 5-8/3 = (7/3) h
Após 2 h, o trem percorreu:
S1 =(57,4).2 = 114,8 km
Restam então: 287-114,8 = 172,2 km
Velocidade necessária:
V = S/t = 172,2km/(7/3)h = 73,8 km/h
∆V = 73,8 - 57,4 = 16,4 km/h
letra a).

Alinhamento de pontos

Geometria Analítica
Os pontos A,B,C,abaixo, estão alinhados?
A(2,3)
B(2,-4)
C(2-1)

( )Certo ( ) Errado


Resposta:

para estarem alinhados Determinante tem que ser igual a zero, logo:
-8 -2 + 6 - (-8 - 2 + 6) = 0
-4 - (-4) = 0
-4 + 4 = 0
0 = 0
Certo,estão alinhados.

Somando f(x) com g(x)

Função do 1° Grau
Dadas as funções definidas por f(x)= 2x + 1/2 e g(x)= (2x/5)+ 1. O valor de f(2) + g(5),é:
a)15/2
b)13/3
c)14/9
d)7/9
e)1/2


Resposta:

f(2) = 4 + 1/2---->f(2) = 9/2
g(5) = 10/5 + 1----->g(5) = 3
f(2) + g(5) = 9/2 + 3---->15/2
letra a).

Soma do maior com o menor

Fatoração A soma do maior com o menor divisor primo de 70, é um número: a) par b) divisivel por 5 c) quadrado perfeito d)múltiplo d...