O Quociente e o Resto

Sistema de Equações

Se dividirmos a soma de dois números por sua diferença,obtém-se um quociente igual a 6 e um resto igual a 10. O número maior aumentado de uma unidade,converte-se nos 4/3 do MENOR aumentado em uma unidade.
A soma destes números é:
a)37
b)46
c)57
d)82
e)95

Resposta:

[x + y = 6(x -y) + 10
[x + 1 = 4/3(y + 1)
daí,vem:
[-15x + 20y = -5
[15x - 21y = -30
____________________
-y = -35
y = 35.logo:
3x - 4(35) = 1
3x = 141
x = 47
x + y---->47 + 35 = 82
letra d).

Seno do Arco-Duplo

Trigonometria
Qual o valor de sen2x, sabendo que tg x + cotg x = 2?
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1

Resposta:

senx / cosx + cosx / senx = 2
mmc = cosx.senx
sen²x + cos²x = 2senx.cosx
como sen2x = 2senx.cosx,mas,
sen²x + cos²x = 1,logo temos:
1 = sen2x,logo:
sen2x = 1
letra e).

Derivada de um Produto

Derivada
Diferenciando a função y = x³.sen(x), encontraremos:
a) y' = x²[3sen(x) + cos(x)]
b) y' = x²[3sen(x) + xcos(x)]
c) y' = x²[3sen(x) - xcos(x)]
d) y' = x²[sen(x) + cos(x)]
e) y' = x[sen(x) - 2cos(x)]

Resposta:

y = x³senx
u = x³ e v = senx
y' = u'v + uv'
y' = x³ '.senx + x³.senx'
y' = 3x².senx + x³.cosx
y' = x².(3senx + x.cosx)
letra b).

Tangente do Arco - Duplo

Trigonometria
Dado: tg x = 1/2 , o valor de tg 2x, é:
a)1/8
b)2/3
c)1/5
d)1/4
e)4/3

Resposta:

tg 2x = 2tgx / (1 - tg² x)
tg2x = 2.1/2 / (1 - 1/ 4)
tg2x = 1 / (3/4)
tg2x = 1 .4 /3
tg2x = 4/3
letra e).

O Capital Duplicado

Juros compostos

O prazo que duplica um capital, aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m, é:
a)1 ano
b)15 meses
c)20 meses
d)25 meses
e)30 meses

Resposta:

M = C + J
2C = C + (C.4 .t / 100)
2C - C = 4t.C / 100
C / C = 4t / 100
1 = 4t / 100
4t = 100
t = 100 / 4
t = 25 meses
letra d).

Prazo de Aplicação

Juros Compostos

Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a 26,8% a.a, gerando um montante de R$ 1.670,00. O prazo em que se deu essa aplicação foi de:
a)20 meses
b)30 meses
c)40 meses
d)50 meses
e)60 meses

Resposta:

M = C + J
M = C + (C . i . t)/ 100
1670 = 1000 + (1000 . 26,8 . t) / 100
670 = 268.t
t = 670 / 268
t = 2,5 anos
t = 24 + 6
t = 30 meses
letra b).

A Chegada de Mais Operários

Regra de três

Em 20 dias, 15 operários fazem a metade de um serviço. Quantos dias serão necessários para fazer uma obra inteira, se forem admitidos mais 10 operários?
a)30
b)32
c)34
d)36
e)24

Resposta:

dias ------------------>operários
20 -------------------->15 ------------------->50%
x --------------------> 25-------------------->100%
regra de três composta
20/x = 25/15 . 50/100
20/ x = 1/3 . 10/4
20/x = 10/12
10x = 240
x = 240/10
x = 24
letra e).

As Despesas de João

Equação do 1° Grau

O preço do aluguel corresponde a quinta parte do salário de João , as despesas com alimentação e transporte, correspondem a dois sétimos de seu salário.Qual o salário que João deve receber a fim de que , descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo , R$540,00?
a)R$ 2540,00
b)R$ 2450,00
c)R$ 1540,00
d)R$ 1340,00
e)R$ 1050,00

Resposta:

x - 1/5x - 2/7x = 540
35x - 7x - 10x = 35 . 540
18x = 18900
x = 18900 / 18
x = 1050
João deve receber R$ 1050,00.
letra e).

O Menor Número e a Razão

Progressão

O produto de três números em progressão aritmética é 162.Se o menor número é igual a razão, pode-se afirmar que:
a) a razão é 27.
b) a soma dos três números vale 18.
c) o maior número é 27
d) a média aritmétrica dos três números vale 12
e) o termo médio vale 81

Resposta:

(x - r . x . x + r) = 162
x-r = r----->x = 2r.logo:
(2r - r).(2r).(2r + r) = 162
6r³ = 162
r³ = 162/6
r³ = 27
r³ = 3³
r = 3
x = 2.3
x = 6
a1 = x - r
a1 = 3
a2 = 6
a3 = 9
3 + 6 + 9 = 18
letra b).

Seno do Arco-Metade

Trigonometria

Na expressão T = (x + y) - 103º,onde x = 112º 30' e y = 102º 60'; podemos dizer que 2.(senT)² é igual à:
a)1 +(√2 ) / 2
b)√(2+√2) / 2
c)sen60°
d)√(2-√2) / 4
e) sen 120°

Resposta:

(x + y) - 103º = 215º 30' - 103º = 112º 30'
sen(112º 30' = sen(90º + 22º30') =
cos 22º30' =
cos 45º / 2 = √[(2+√2) / 4]
√(2+√2) / 2,mas
[√(2+√2) / 2]² = (2 + √2 / 2) = 1 + (√2)/2
letra a).

Quanto Vale 1/3 de xis

Equação do 1º Grau
Se 1/6 de x é 1/3, quanto vale 1/3 de x?
a)5/2
b)4
c)3
d)1/2
e)2/3

Resposta:

1/6 . x = 1/3
x / 6 = 1/3
3x = 6
x = 6/3
x = 2
logo:
1/3 .2 --->(1.2) / 3 = 2/3
letra e).

Os 8 termos da P.A

Progressão
(U.F.PA) A soma de uma P.A de oito termos é 16 e a razão é -2. Então, o sexto termo é:
a)-5
b)-4
c)-3
d)-2
e)-1

Resposta:

a1 + a8 = 4
2a1 - 14 = 4
a1 = 9
a6 = a1 + 5r
a6 = 9 - 10
a6 = -1
letra e).