Calculando a Inversa

Função Inversa
Qual a função inversa de f(x)= x / x + 2?

Resposta:

y = x / x + 2
(x + 2) y = x
yx + 2x = y
yx - y = -2x
y(x - 1) = -2x
y = -2x /(x - 1)---->esta é a inversa.

Solução da Inequação

Inequação do 2º Grau
O conjunto-solução para a inequação do 2º grau x² - 2x - 3 menor que zero, é:
a)x menor que zero
b)x maior que 4
c)x = 3
d)-1 menor que x
e) x maior que -1 e menor que 3

Resposta:

(2 ±√16) / 2
x' = 6/2 = 3
x'' = -2/2 =-1
-1-------------------->3
para f(x) menor que zero ,temos:
x maior que -1 e menor que 3

letra e).


Coeficiente Angular

Geometria Analítica
Qual o coeficiente angular da reta 2x +4y = 12?

Resposta:

4y = -2x + 12
y = -2x/4 + 12/4
y = -x/2 + 3
coeficiente angular é igual à -1/2.

Termos de Uma Sequência

Progressão Aritmética
Os dois primeiros termos de uma sequência são (2,1/2...).Qual é a soma dos vinte primeiros termos, supondo que se trata de uma P.A.
a)-138
b)-149
c)-160
d)-245
e)-247

Resposta:

r = a2 - a1
r = 1/2 - 2
r = -3/2
a20 = a1 + 19r
a20 = 2 - 57/2
a20 = -53/2
s20 = (a1 + a20).n/2
s20 = (2 - 53/2) . 20 /2
s20 = (4-53).5
s20 = 20 - 265
s20 = -245
letra d).

Valor da Expressão

Expressão Numérica
O produto 0,075 x (40/3) é igual à:
a)1
b)2
c)3
d)0,5
e)0,7

Resposta:

75 / 1000 x 40 / 3
simplificando vem:
25 / 1000 x 40 / 1
1 / 40 x 40 / 1
1 / 1 x 1 / 1
1 x 1
= 1
letra a).

Quadrado do Termo

Equação do 1º Grau
Sabendo que 32x + 2 = 16x + 1 ,então o valor de x², é:
a)-1 / 16
b)1 / 256
c)46
d)23
e)33


Resposta:

32x - 16x = 1 - 2
16x = -1
x = -1 / 16
logo x² -----------> (-1 / 16)²
x² = 1 / 256
letra b).

Qual o Número de Termos

Progressão Geométrica
O número de termos da progressão geométrica em que a1 = 3 , q = 2 e Sn = 381,é:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11

Resposta:

Sn = a1(q^n -1) / q - 1
381 = 3 (2^n - 1) / 2 -1
381 = 3.2^n - 3
fazendo 2^n = y,vem:
381 = 3y - 3
dividindo por 3,temos:
127 = y - 1
y = 128.logo:
2^n = 128
2^n = 2^7
n = 7
letra a).

O Número e Seu Inverso

Radicais
Se x E R é tal que o inverso de x - raiz de 3 é x + raiz de 3, então x² vale :
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Resposta:

1 / (x - √3 = x + √3
(x - √3) . (x + √3) = 1
x² - 3 = 1
x² = 1 + 3
x² = 4
letra a).

Valor da Taxa de Juros

Juros Simples
Uma aplicação de R$500,00 gerou um montante de R$725,00 no final de 15 meses. Qual é a taxa de juros simples ao ano?

Resposta:

M = C + J
725 = 500 + J
J = 225,mas :
J = C. i . t / 100
225 = 500.i. 15 / 100
225 = 75i
i = 225 / 75
i = 3/% ao mês,logo ao ano ,fica:
3 . 12 = 36% ao ano.

Lados Proporcionais

Geometria Plana
O perímetro de um triângulo e 48m,e as medidas dos seus lados são diretamente proporcionais a 4,3 e 5. Determine as medidas dos lados desse triângulo.

Resposta:

2p = 48
x + y + z = 48
x/4 = y/3 = z/5
(x + y + z) / 12 = 48 / 12 (razão de proporcionalidade) ,logo temos:
48/12 = x / 4
x = 16
48 / 12 = y / 3
y = 12
48 / 12 = z / 5
z = 20

Soma Dos Dois Últimos Termos

Progressão Geométrica
Em uma progressão geométrica de cinco termos, a soma dos dois primeiros termos é 32 e a dos dois últimos é 864 . Qual é o terceiro termo?

Resposta:

a1 + a2 = 32
a4 + a5 = 864
a1 + a1.q = 32
a1(1 + q) = 32
a1 = 32 / (1 + q)
a1 . q(q² + q³) = 864
32 / (1 + q) . q(q² + q³) = 864
q^4 + q³ - 27q = 27
(q + 1)(q³ - 27) = 0
q + 1 = 0---------->q = -1não serve
q³ - 27 = 0
q³ = 27
q³ = 3³
q = 3,logo:
a1 + a1.3 = 32
4a1 = 32
a1 = 8
a3 = a1 . q²
a3 = 8 . 3²
a3 = 8.9
a3 = 72----->que é o termo procurado.

Calculando o Perímetro

Geometria Plana
Um triângulo retângulo isósceles tem hipotenusa igual a 8. Qual é seu perímetro?

Resposta:

8² = a² + a²
2a² = 64
a² = 32
a = 4√2
2p = 4√2 + 4√2 + 8
2p = 8√2 + 8
2p = 8(√2 + 1).

Reajustando o Preço Antigo

Percentagem
Uma certa mercadoria que custava R$12,50 teve um aumento, passando a custar R$14,50. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de:
a)2,0%
b)20,0%
c)12,5%
d)11,6%
e)16,0%

Resposta:

14,5 - 12,5 = R$2,00
se 12,5----->100%
2,00----->x
12,5 x = 200
x = 200/12,5
x = 16%
letra e).

Idade dos Irmãos

Sistema de Equações
As idades de dois irmãos somam 35 anos e a idade de um é o triplo da metade da idade do outro. Qual é a idade de cada um deles?

Resposta:

x + y = 35
x = 3.y/2
3.y/2 + y = 35
3y + 2y = 70
5y = 70
y = 70 / 5
y = 14,logo:
x = 3 . 14 / 2
x = 21
um irmão tem 14 e o outro 21 anos.

Operando com Radicais

Radicais
O valor de y, na expressão y = ³√(- 8/27) - √(25/64) é:
a)-31/24
b)-13/12
c)13/24
d)13/12
e)31/12


Resposta:

(³√(-2)³ / ³√3³ ) - 5 / 8
(-2 / 3 ) - 5 / 8
(-16 - 15) / 24
-31 / 24
letra a).

Dimensões do Retângulo

Geometria Plana
Um retângulo tem 24 cm² de área e 20 cm de perímetro. Determine suas dimensões.

Resposta:

2(x + y) = 20
x + y = 10
x = 10 - y
x.y = 24
y² - 10y + 24 = 0
y' = 6
y'' = 4
logo as dimensões,são 6 e 4.

Derivada Primeira

Derivada
Dadas as funções f(x) = 3x² - 1 e g(x) = 4x - x²,encontre a derivada primeira de f(g(x)).

Resposta:

f(g(x)) = 3(4x- x²)² - 1
f(g(x)) = 48x² - 24x³ + 3x^4 - 1
a derivada de f(g(x)) = 96x - 72x² + 12x³.

A Matemática Antiga e o Papiro Rhind

Progressão Aritmética
(PUC-PR) O mais importante documento sobre a matemática antiga é o Papiro Rhind, que data de cerca de 1650 a.C. O problema número 40 desse papiro diz o seguinte: "Dividir 100 pães entre cinco homens de tal modo que as porções recebidas devem estar em progressão aritmética e que 1/7 da soma das três maiores porções deverá ser igual à soma das duas menores. Qual será a diferença entre as porções?"
A)10/6
B)65/3
C)55/6
D)55/3
E)65/6

Resposta:

Sn = 100
(a3 + a4 + a5) / 7 = a1 + a2
r = ?
Sn = (a1 + a5).n / 2
100 = (a1 + a5) .5 / 2
a1 + a5 = 40
a1 + a1 + 4r = 40
2a1 + 4r = 40 (K)
(a1 + 2r + a1 + 3r + a1 + 4r) / 7 = a1 + a1 + r
r = (11a1)/2 (W)
substituindo (W) em (K),vem:
24a1 = 40
a1 = 40 / 24,daí vem de (W):
r = (11/2) . (40/24)
r = 11.20 / 24
r = 11.5 / 6
r = 55 / 6
letra c).

Os Lados em PA

Progressão Aritmética
As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA de razão 5. Determine as medidas dos lados do triângulo.

Resposta:

P.A--->(x-r , x , x+r)
hipotenusa ---->x + r
os outros dois lado: x - r e x,logo por Pitágoras vem:
(x+r)² = (x-r)² + x²
x² - 4xr = 0
x(x - 4r) = 0
x = 0 --->não serve,pois não existe lado de medida zero.
x - 4r = 0
x = 0 + 4r
x = 4r
x = 4.5
x = 20
x-r ----> 20-5 = 15
x+r---->20+5 = 25
PA ( 15,20,25)--->que são os lados do triângulo.

Cadê os livros novos?

Regra de Três

(PUC-MG) Se 30% dos livros de uma estante são novos e 14 livros são velhos, o número de livros novos é :
a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

Resposta :

se:
70%--------------> 14
100%-------------- > x
x = 20
assim como 20 é o total,significa que 20 - 14 = 6

ou 30% de 20 = 6
daí letra a)

Lesma -- Velocidade


Operação com Medida não Decimal

Suponha que uma lesma se mova com uma velocidade de 0,5 cm/min.Quanto tempo ela demoraria para percorrer 5 m?

a)200 segundos

b)300 segundos

c)400 minutos

d)30 horas

e)1000 minutos



Resposta:



V = 5 / 10³ (m/min)

V = S/ t =======> 5 ÷ 10³ = 5 / t

t = 5 x 10³ ÷ 5

t = 1000 minutos
letra e).






Mister MM e os Números

Progressão Aritmétrica

Mister MM, o mágico da matemática , apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma , excetuando-se a primeira e a última , fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da Décima Sexta(16) e da Trigésima Quinta ficha(35), obtendo como resposta 103 e 46 , respectivamente . Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou o valor da soma de todos os números que constavam nas fichas. Determine o valor dessa soma.

Resposta

n = 50
a16 = a1 + 15 r======> 103 = a1 + 15 r ( 1 )
a35 = a1 + 34 r=======> 46 = a1 + 34 r ( 2 )
multiplicando ( 1 ) por -1 e somando com ( 2 ), vem:
19 r = -57=======> r = -3
a1 + 15 ( -3 ) = 103 ==========> a1 = 148
a50 = a1 + 49 r===========> a50 = 1
S50 = ( a1 + a50 ) . n / 2
S50 = ( 148 + 1 ) . 50 / 2
S50 = 3725

Paralelogramo -- Medida de um ângulo

Geometria Plana


Em um paralelogramo ABCD os ângulos A e C são expressos respectivamente por 3x+10° e x+20°.


Qual é a medida do ânguloB ?


Resposta:


Num paralelogramo os ângulos opostos são congruentes,daí: A = C --------> D = B


3 x + 10 = x + 20


x = 5° -------------> Assim A = C = 25° mas, a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é 360°,então vem: A + B + C + D = 360


25 + B + 25 + B = 360


2 B = 360 -- 50


2 B = 310


B = 155°----------> B = 155° = D








O Percentual de Perda

Regra de Três
Uma empresa teve uma perda de R$ 193.000,00; essa perda equivale a 1,53% , porém, ela teve uma bonificação de R$ 21.000,00. Quanto representa a perda dessa empresa em porcentagem?

Resposta:

193.000 - 21.000 = 172.000
se:
193.000 ------------>1,53%
172.000-------------> x
193.000 x = 172.000 . 1,53
193.000 x = 263.160
x = 263.160 / 193.000
x = 1,36%------->esta é a perda da empresa.

Números Consecutivos

Números Inteiros
A soma de dois números inteiros consecutivos é 55. Determine esses números.

Resposta:

os dois números:
x
x + 1
logo:
x + x + 1 = 55
2x = 55-1
2x = 54
x = 27
assim , x + 1 = 27 + 1 = 28
os dois números são:
27 e 28.

A Escala Termométrica

Termometria
(UFF) Um executivo brasileiro, ao desembarcar no aeroporto de Nova York, observou que o valor da temperatura lá indicada, em Fahrenheit, era um quinto do valor correspondente em Celsius. Qual foi o valor observado?
a)-4ºF
b)-3ºF
c)-2ºF
d)3ºF
e)6ºF

Resposta:

ºC / 5 = ( ºF - 32 ) / 9
ºF = 1/5 ºC------------> ºC = 5ºF,logo vem:
5ºF / 5 = (ºF - 32) / 9
ºF = (ºF - 32) / 9
9ºF - ºF = - 32
8ºF = - 32
ºF = - 4
letra a).

Os Termos da Progressão

Progressão
Quantos termos têm a P.A (1,7....,121)?
a)29
b)27
c)25
d)21
e)19

Resposta:

r = 7-1 = 6
a1 = 1
an = 121,logo:
an = a1 + (n-1).r
121 = 1 + (n-1).6
120 = 6n - 6
126 = 6n
n = 126/6
n = 21
letra d).

Achando a Função Inversa

Função Inversa
(UFMG) O valor de a, para que a função inversa de f(x) = 3x + a, seja f(x) = x/3 - 1,é:
a)-3
b)-1
c)-2
d)-1/3
e)3


Resposta:

y = 3x + a,logo a inversa acha-se deste modo:
x = 3y + a
x - a = 3y
y = x / 3 - a / 3
f(x) = x /3 - a / 3(esta é a inversa)
mas,o problema diz que a inversa é x / 3 - 1,daí por comparação,temos:
a / 3 = 1
a = 3 . 1
a = 3
Letra e).

Os Pontos e a Distância

Geometria Analítica
A distância entre os pontos A(5,-3) e B(2,-2),é:
a)√10
b)√8

c)5
d)8
e)2


Resposta:

√[(2-5)²+(-2+3)²]
√[(-3)² + (1)² ]
√10
letra a)

O Cheque e o Percentual

Percentagem
Para comprar um sapato de R$ 80,00, Paulo deu um cheque pré-datado de R$ 84,20. Qual o percentual que ele pagou a mais pela compra do sapato ?

Resposta:

se:
80,00------------>100%
4,20----------> x
80x = 420
x = 420/80
x = 5,25%--->percentual pago.

Dobrando em três partes iguais

Sistema de Equações Com uma folha de papel em forma retangular Rui observou o seguinte: dobrou a folha ao meio no comprimento e na largura...