A moda nas pessoas do grupo

Probabilidade
(CESGRANRIO)Um grupo é formado por 10 pessoas,cujas idades são:
17 19 19 20 20 20 20 21 22 22
Escolhendo-se, aleatoriamente, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que sua idade seja maior do que a moda?
a)60%
b)50%
c)40%
d)30%
e)20%

Resposta:

moda é a ocorrência de maior freqüência; que no caso é 20.
Probabilidade = evento / espaço amostral
evento---->idades maiores que a moda(21 , 21 e 22) = 3
espaço amostral---->número de pessoas = 10
logo vem :
prob = 3 / 10
prob = 30 /100
prob = 30%
letra d).

A Repartição Pública e os funcionários

Equação do 1º Grau
FCC)Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a 2/5 do número dos de (3). Se os funcionários do setor (1) são numericamente iguais a 3/8 do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a quantidade de funcionários do setor
a) (1) é 284
b) (2) é 150
c) (2) é 180
d) (3) é 350
e) (3) é 380

Resposta:

setor 1------>3/8 .784 = 2352 / 8 = 294
setor 2------->2/5. x
setor 3-------->x,logo vem:
294 + 2/5x + x = 784
2x + 5x = (784 - 294) . 5
7x = 2450
x = 2450 / 7
x = 350
letra d)

Problema do 1º grau

Equação do 1º Grau
Um botijão de 13 kg de gás de cozinha (GLP) é vendido por R$30,58. Esse preço é composto de três partes: distribuição e revenda, tributos e preço de custo. Se o valor de distribuição e revenda supera em R$1,77 o preço de custo, e o preço de custo supera em R$5,09 a parte correspondente aos tributos, qual é, em reais, o preço de custo de um botijão de 13 kg?
a) 11,30
b) 11,54
c) 12,36
d) 12,49
e) 13,07

Resposta:


tributos----->x
preço de custo-------->x + 5,09
distribuição e revenda------>x + 1,77 + 5,09
daí vem: 3x + 1,77 + 5,09 + 5,09 = 30,58
3x + 11,95 = 30,38
3x = 30,58 - 11,95
3x = 18,63
x = 6,21
logo o preço de custo é: 6,21 + 5,09 = 11,30
letra a).

Resolvendo inequação

Inequação
A solução da inequação (x+3)(x-2)≤0,é {x e IR -3 ≤ x ≤ 2}. Isto é certo ou errado?

Resposta:

x² - 2x + 3x - 6 ≤ 0
x² + x - 6 ≤ 0
x = -b ± √∆ / 2a
∆ = b² - 4ac
∆ = 1² - 4.1.(-6)
∆ = 1 + 24
∆ = 25
x = -1 ± √25 / 2
x = -1 ± 5 / 2
x' = -1+5 / 2 = 2
x'' = -1-5 / 2 = -3
S = {x e IR -3 ≤ x ≤ 2}
Certo.

Escrevendo a P.A

Progressão Aritmética
Escreva uma P.A onde a soma do 2° termo com o 7° termo é -10 e a soma do 4° termo com o 9° termo é 6.

Resposta:

2a1 + 7r = -10
[2a1 + 11r = 6
multiplicando a 1ª ,por (-1),vem:
[-2a1 - 7r = 10
[2a1 + 11r = 6
-----------------------
4r = 16
r = 4
2a1 + 44 = 6
2a1 = -38
a1 = -19
P.A ( -19, -15, -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13)

O ângulo formado pelos ponteiros

Medidas de ângulos
Qual o ângulo (em graus) formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 1:25 h?

Resposta:

390 + 12,5 = 402,5
daí:: 402,5 - 360 = 42,5
mas. 6 . 25 = 150
então vem:
150 - 42,5 =
107,5º
é só substituir em:
30 . H + 0,5 . M
e depois subtrair de 6 . M
onde
H------->hora
M------->minutos

Achando o dobro de x + y

Sistema de Equações
O dobro de x + y no sistema,abaixo é:
[-2x + y = 5
[3x = 6 + 2y
a)-56
b)-66
c)-76
d)-86
e)-96


Resposta:

[-4x + 2y = 10
[3x - 2y = 6
-----------------------
-x = 16
x = -16
32 + y = 5
y = -27
logo,2.(x + y)é:
2.(-16 - 27)
2.(-43)
-86
letra d).

Números consecutivos

Números Ímpares
Somando-se três números ímpares consecutivos obtemos 111. O maior dos números é:
a)40
b)39
c)38
d)37
e)36


Resposta:

sejam os números a, a + 2 e a + 4
então: a + a + 2 + a + 4 = 111
3a + 6 = 111
3a = 111- 6
3a = 105
a = 105 /3
a = 35
então a + 2 = 37
e a + 4 = 39
prova:
35 + 37 + 39 = 111
letra b).

O ângulo que os ponteiros fazem

Medidas de Ângulos
Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 10 horas e 10 minutos?
a)135º
b)125º
c)115º
d)95º
e)85º

Resposta:

30 . 10 + 0,5 . 10 = 300 + 5 = 305
mas, 6 . 10 = 60
logo temos:
360 - 305 = 55
55 + 60 = 115º
letra c).

Expressão algébrica

Simplificação
O valor que torna a expressão (x³+3x²y+3xy²+y³ / x³+y³) / (x²+2xy+y² / x²-xy+y²)mais simples ,é:
a)1/2
b)1
c)3/2
d)2
e)3


Resposta:

(x + y) ³ / (x³ + y³) : (x + y)² / (x² - xy + y²)
(x + y)² ( x + y) / (x + y)(x² - xy + y²) . (x² - xy + y) / (x + y)²
que simplificando fica igual à 1(HUM)
letra b).

Expressão equivalente

Números Complexos
A expressão(2-3i)+(2-5i),equivale à:
a)1-8i
b)2+8i
c)3-8i
d)4-8i
e)8+2i

Resposta:

2 + 2 - 3i - 5i = 4 - 8i
letra d).

Achando o valor de senx . cosx

Trigonometria
Se senx - cosx = 1/2,então quanto vale senx . cosx?
a)8/3
b)4/3
c)7
d)9/8
e)3/8


Resposta:

Sabemos que sen²x + cos²x = 1
e que (senx - cosx)² = sen²x - 2senx.cosx + cos²x
logo fica:
1 - 2senx.cosx = (1/2)²
1 - 2senx.cosx = 1/4
tirando o mmc, vem:
4 - 8senx.cosx = 1
-8senx.cosx = 1 - 4
-8senx.cosx = -3
senx.cosx = 3/8
letra e).

Complemento de um ângulo

Operação com medidas de ângulos
A medida em graus de um ângulo, cuja terça parte da medida de seu complemento mede 10º20’, é:
a)55º
b)56°
c)57°
d)58°
e)59º


Resposta:

(90º - x) / 3 = 10º 20'
90º - x = 30º 60'
- x = 31º - 90º
- x = - 59º
x = 59º
letra e).

Idade do pai e do filho

Sistema de Equações
Somando as idades de Luciano e a de seu pai dá 80 anos . A diferença entre as suas idades é de 20 anos .Qual é a idade de Luciano?
a)50
b)30
c)60
d)20
e)40


Resposta:

x--->pai
y--->filho
x + y = 80
x - y = 20
------------
2x = 100
x = 100/2
x = 50
x + y = 80
50 + y = 80
y = 80 - 50
y = 30
letra b).

Parte imaginária do número complexo

Números Complexos
Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z = (y+3)+(y²-4y+4)i,seja um número real.

Resposta:

Para ser real basta que y² - 4y + 4 seja igual à zero,daí vem:
y² - 4.y + 4 = 0
(y - 2)² = 0
(y - 2).(y - 2) = 0
y - 2 = 0 / (y - 2)
y = 2

Achando o termo desconhecido

Progressão Aritmética
Determine o 1º termo desta PA (x,3/2,-2/3).

Resposta:

a1 = x
a2 = 3/2
a3 = -2/3
a3 = a2 + 2r
r = -13/6
-2/3 = x + 2(-13/6)
-2/3 + 13/3 = x
x = 11/3.

Formação de comissão

Análise combinatória
Um grupo e formado por 9 pessoas ,entre elas um casal de namorados .De quantas maneiras diferentes pode-se formar uma comissão de 5 pessoas desse grupo de modo que o casal faça parte dessa comissão?

Resposta:

C7,3 = 7.6.5 / 3!
C 7,3 = 7.6.5 / 3.2.1
C 7,3 = 7.5
C 7,3 = 35

A campanha de arrecadação

Regra de Três
Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade.20 alunos aceitaram e em 10 dias trabalharam 3 h diárias, arrecadando 12kg/dia.Animados,30 novos alunos somam-se ao grupo, e passam a trabalhar 4h/dia nos dias seguintes até o término da campanha .Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a)800 kg
b)820 kg
c)900 kg
d)920 kg
e)980 kg

Resposta:

12kg/dia durante 10 dias = 120 kg,logo temos:
120 alunos--------->10dias---->3h------> 120 kg
50 alunos---------->20 dias---->4h------> x kg
120 / x = 20/50 . 10/20 . 3/4
120 / x = 2/5 . 1/2 . 3/4
120 / x = 6 / 40
6x = 120 . 40
x = 4800 / 6
x = 800 kg
ou seja 50 alunos trabalhando 20 dias durante 4h arrecadaram 800 kg de alimentos
e 20 alunos em 10 dias durante 3h ,arrecadaram 120 kg;
daí vem: 800 + 120 = 920 kg
letra d).

Definindo o juro

Juros Simples
Qual é o juro simples referente a um capital de R$ 8.000,00 investido durante 5 meses á taxa de juros de 21% a.a?
a)R$ 700,00
b)R$ 600,20
c)R$ 504,67
d)R$ 405,00
e)R$ 300,00

Resposta:

t = 5/12 anos

i = 21% = 21/100 a.a

C = 8000,00

J = C.i.t
J = 8000.21/100.5/12
J = R$ 700,00
letra a).

Termo independente de xis

Equação do 2º Grau
O produto das raízes reais da equação 8x² - 9x + c = 0 é igual a 4/3. Qual o valor de c?
a)12/3
b)22/3
c)32/3
d)42/3
e)52/3

Resposta:

x'. x" = c/a

x'. x" = c/8

c/8 = 4/3
c = 32/3
letra c).

O preço de venda

Percentagem
Do preço de venda de um determinado produto, 25% se refere à impostos e comissões pagos pelo lojista.Do restante, 60% corresponde ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo desse produto é de R$ 405,00, então o seu preço de venda é:
a)R$ 1090.00
b)R$ 1124,00
c)R$ 1000,00
d)R$ 900,00
e)R$ 875,00


Resposta:

405---------->60%
X------------> 100%
60x = 40500
x = 675 (custo + lucro)
como este valor + 25% de juro eu terei o valor de venda, ou seja este valor representa 75% do valor de venda.

675------>75%
x--------> 100 %
75x = 67500
x = R$ 900,00
letra d).

Valor das parcelas mensais

Juros Simples
Devo R$24.606,00 e irei pagar em 24 meses com juros simples de 1 % ao mês. Qual o valor das parcelas fixas?
a)R$ 2.133,00
b)R$ 2.0147,00
c)R$ 1.890,00
d)R$ 1.780,00
e)R$ 1.271,31


Resposta:

J = C.i.t /100
j = 24606 .0,01.24
J = 5905,44
M = C + J
M = 24.606 + 5905,44
M = 30.511,44
logo:
30.511,44 /24 = 1.271,31
letra e).

A dívida de Lígia

Juros Simples
Lígia contraiu uma dívida de R$ 2000,00 a ser paga em regime de juros simples, após 2anos e meio . Se, ao fim desse prazo, Lígia quitou a dívida com um pagamento de R$ 3440,00. A taxa mensal de juros dessa dívida,foi:
a)4,4%
b)3,4%
c)2,4%
d(1,4%
e)1,2%


Resposta:

2 anos e meio = 30 meses
m = c.(1+ i . t)
3440 = 2000.( 1 + i . 30)
3440/2000 = 1 + 30.i
1,72 = 1 + 30.i
i = 0,72 / 30 = 0,024 <=> 2,4% a.m
letra d).

Função trigonométrica derivada

Trigonometria
Se f é uma função real definida por f(x) = (2tgx) / (1 + tg²x), então f(x) é igual a:
a)2cosx
b)3senx
c)sen²x.cos²x
d)sen(x/2)
e)sen2x

Resposta:

sabemos que:
1 + tg²x = sec²x
cosx = 1/secx
tgx = senx/cosx
sen(2x) = 2senxcosx
logo vem:
f(x) = (2tgx)/(1 + tg²x) = 2tgx/sec²x = 2tgxcos²x =
2(senx/cosx)cos²x) = 2senxcosx = sen(2x)
f(x) = sen(2x)
letra e).

Quantia distribuida entre os filhos

Grandeza Diretamente Proporcional
Um pai distribuiu R$ 3.000,00 entre seus três filhos, em quantidades diretamente proporcionais à série em que cada um deles estudava. Sabendo que eles estudavam, respectivamente na 5a, 7a e 8a séries, a quantia que coube a cada um foi de:
a) 800, 1.000 e 1.200.
b) 850, 950 e 1.200.
c) 700, 1.000 e 1.300.
d) 750, 1.050 e 1.200.
e) 780, 1.080 e 1.140.

Resposta:

Sendo p = parte,temos:
5 p + 7p + 8p = 3.000

20p = 3.000

p = 150

5ª série => 150 . 5 = R$ 750,00

7ª série => 150 . 7 = R$ 1050,00

8ª série => 150 . 8 = R$ 1200,00
letra d).

Quantidade de arestas

Geometria Espacial
Quantas arestas possui um poliedro que tem 3 faces triangulares, 5 quadrangulares e 7 pentagonais?
a)30
b)32
c)40
d)42
e)50

Resposta:

3 faces triangulares = 3x3
5 faces quadrangulares = 5x4
7 faces pentagonais = 7x5

Como cada aresta é comum a duas faces, se dividi então por 2; logo vem:

2A = (3X3)+(5X4)+(7X5)
2A = 9+20+35
2A = 64
A = 32

letra b).

Medida do terceiro lado

Geometria Plana
Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3cm e 4cm, podemos afirmar que a medida do terceiro lado é:
a)igual a 15cm
b)igual a 10cm
c)menor que 7cm
d)maior que 10cm
e)maior que 15cm


Resposta:

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois,logo temos:
c < a + b
c < 3 + 4
c < 7
letra c)

Probabilidade em percentual

Probabilidade
Carolina ganhou uma caixa de bombons. A caixa contém 7 bombons de caramelo, 5 de coco, 6 de morango e 2 de banana. Ela pegou, sem olhar, um bombom da caixa. A probabilidade desse bombom ser de coco é:
a)5%
b)10%
c)12%
d)17%
e)25%

Resposta:

7 de caramelo
5 de coco
6 de morango
2 de banana

total : 20 bombons, sendo 5 de coco.

Então para cada 20 total, 5 são de coco.

5 / 20
= 1/4
= 25/100
= 25%
letra e).

Total de visitantes

Equação do 1º Grau Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas ...