O Automóvel,Consumo e Combustível

Progressão Aritmética
Um piloto testou um automóvel de um determinado modelo,para medir o consumo médio de conbustível desse veículo.Com relação ao teste,considere as seguintes informações:

O automóvel foi testado durante vinte dias.
O automóvel percorreu exatamente 30km,no primeiro dia.
O automóvel percorreu,a partir do segundo dia,10km a mais do que no dia anterior,assim:
a) Uma distãncia inferior a 100km,foi percorrida nos três primeiros dias.
b) Uma distãncia superior a 300km,foi percorrida nos cinco primeiros dias.
c) Menos de 150km,foram percorridos no décimo dia.
d) Mais de 230km,foram percorridos no décimo quinto dia.
e) Menos de 200km,foram percorridos no vigésimo dia.


Resposta:

Trata-se de um PA de razão 10 km,onde:
a1 = 30
a2 = 40
a3 = 50 ---->a) é falsa ,pois a1+a2+a3= 120
a5= a1 + 4r----> a5 =30 + 40= 70--->etra b)
falso
a10 = a1 + 9r----->a10 = 30 + 90 = 120--->
letra c) verdadeira
a15 = a1 + 14r---> a15 = 30 + 140= 170--->letra d) falso
a20 = a1 + 19r---->a20 = 30 + 190 = 220 ----> letra e)
falso.

Soma de Funções

Função Composta
Dadas as funções reais f(x)= 1 / (x - 1),x ≠ 1 e g(x) = 2x - 4,o valor de (fog)(2)+(gof)(1/2) é:
a)2
b)-9
c)3
d)-5
e)4

Resposta:

a)fog = 1 / (2x - 4 - 1)
fog = 1 / (2x - 5)
fog(2) = 1 / -1
fog(2) = -1
b)gof = 2 (1/(x-1) ) - 4
gof = 2 / (x-1) - 4
gof(1/2) = 2 / -1/2 - 4
gof = -4 - 4
gof = -8
fog(2) + gof(1/2) = -1 - 8
fog(2) + gof(1/2) = -9--->letra b).

O Coeficiente e a Soma

Polinômio
Ao dividir o polinômio k(x) de coeficientes reais por (x - 4), encontramos x² + 2x - 1 e resto 3. A soma dos coeficientes vale:
a)-6
b)-5
c)-3
d)6
e)7

Resposta:

k(x) ÷ (x - 4) = x² + 2x - 1 e r = 3
(x² + 2x - 1) (x - 4) + 3 = k(x)
x³ - 2x² - 9x + 7 = k(x)
soma dos coeficientes:
1 - 2 - 9 =
-10 + 7 = -3---->letra c).

Máximo e Mínimo - Cosseno

Função Trigonométrica
(FGV-SP)Considere a função f(x) = 2-(3cos^4x)/4. Os valores máximo e mínimo de f(x) são, respectivamente :
a)5/4 e 2
b)3 e 2
c)4/3 e 1
d)2 e 5/4
e)4 e 2


Resposta:

f(x) = 2 - (3cos^4x)/4. No ciclo trigonométrico o maior valor possível que cos x pode assumir é +1,logo:
f(x) = 2 -( 3 . 1)/4
f(x) = 2 - 3/4
f(x) = 5/4
0 menor valor é -1,mas -1 ao quadrado fica positivo ,aí volta o mesmo valor de cosx = +1,daí façamos para cos x = 0,aí temos:
f(x) = 2 - ( 3 . 0)/4
f(x) = 2 - 0/4
f(x) = 2.
Letra d).

Potência com Expoente Negativo

Potenciação
Simplifique a expressão 1/x^-6 + 2/(x²)^-3 + 8x^6.

Resposta:

Para resolver basta aplicar as propriedades de potência:
x^6 + 2 . x^6 + 8x^6
pondo x^6 em evidência,vem:
x^6 (1 + 2 + 8)
11 x^6.

O Capital e a Taxa de Juros

Matemática Financeira
Um capital de R$100.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% trimestrais ao longo de 15 meses, rende um total de quanto?

Resposta:

j = Cit/100
trimestre--->1
i = 20/100 = 0,20,logo vem:
j = 100.000.0,20.1
j = R$ 20.000,00, mas esse valor é correspondente a 1 trimestre e
como 15 meses = 5 trimestres,temos:
20.000 x 5 = 100.000
em 15 meses rende um total de R$ 100.000,00.

O Piloto,o Automóvel e o Combustível

Progressão Aritmética
Um piloto testou um automóvel de um determinado modelo,para medir o consumo médio de combustível desse veículo.Com relação ao teste,considere as seguintes informações:

O automóvel foi testado durante vinte dias.
O automóvel percorreu exatamente 30km,no primeiro dia.
O automóvel percorreu,a partir do segundo dia,10km a mais do que no dia anterior.
O automóvel percorreu:
a)Uma distância inferior a 100km,nos três primeiros dias?
b)Uma distância superior a 300km,nos cinco primeiros dias?
c)Menos de 150km,no décimo dia?
d)Mais de 230km,no décimo quinto dia?
e)Menos de 200km,no vigésimo dia?

Resposta:

Trata-se de um PA de razão 10 km,onde:
a1 = 30
a2 = 40
a3 = 50 ---->a)
é falsa ,pois a1+a2+a3 = 120
a5= a1 + 4r----> a5 =30 + 40= 70--->letra b) falso
a10 = a1 + 9r----->a10 = 30 + 90 = 120--->
letra c) verdadeira
a15 = a1 + 14r---> a15 = 30 + 140= 170--->letra d) falso
a20 = a1 + 19r---->a20 = 30 + 190 = 220 ---->
letra e) falso.

Reduzida da Reta

Geometria Analítica
Encontre a equação reduzida da reta 4x + 3y - 12 = 0.

Resposta:

3y = -4x + 12
y = -4x/3 + 12/3
y = -4x/3 + 4.

Ponto de Intersecção

Geometria Analítica
Determine o ponto de intersecção das retas r: x + 2y = 3 e s: 2x + 3y = 5.

Resposta:

Basta resolver o sistema para encontrar o ponto de intersecção,
logo fica:
x + 2y = 3 (1)
2x + 3y = 5 (2)
multiplicando (1) por -2 e somando com (2) vem:
-y = -1
y = 1
daí : x + 2.1 = 3-----> x = 1
o ponto de intersecção é p(1,1).

Posição Relativa

Retas
Determine a posição relativa entre as retas r: x + 2y + 4 = 0 e s: 2x - y - 1 = 0.

Resposta:

r: 2y = -x - 4
y = -x/2 - 2 ---> mr = -1/2
s: -y = -2x + 1
y = 2x - 1-----> ms = 2,não são paralelas, pois mrms
se mr . ms = -1 as retas são perpendiculares
daí temos:
-1/2 . 2 = -1 ,então as retas são perpendiculares.

O Perímetro do Retângulo

Geometria
Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área.

Resposta:

2(x + y) = 16
x + y = 8
x = 8 - y
x . y = 15
(8 - y) . y = 15
y² - 8y + 15 = 0
y' = 10 / 2
y' = 5
y'' = 6/2
y'' = 3
as dimensões são: x = 5 e y = 3

Soma dos Termos

Progressão
O valor da razão de uma P.A, considerando que:
a5 + a12 = 40
a10 + a18 = 62, é:
a)2
b)3
c)4
d)5
e)6

Resposta:

a1 + 4r + a1 + 11r = 40
2a1 + 15r = 40
a1 + 9r + a1 + 17r = 62
2a1 + 26r = 62
[-2a1 - 15r = -40
[2a1 + 26r = 62
-----------------------
11r = 22
r = 22/11
r = 2
letra a)

Soma dos Inversos

Função Polinomial
Se x' e x" são os zeros da função y = 3x² + 4x - 2, então o valor de 1/x'+ 1/x" é igual à:
a)1/8
b)8/3
c)1
d)2
e)3


Resposta:

1/x' + 1/x'' =( x'' + x') / (x' . x'')
x'' + x' = -b/a-----> -4/3
x' . x'' = c/a------->-2/3
logo,vem:
-4/3 : -2/3
-4/3 x 3 / -2
-4/-2 = 2---->letra d)

Simplificando Potência

Potenciação
Simplifique a expressão 1/x^-6 + 2/(x²)^-3 + 8x^6.

Resposta:

x^6 + 2 . x^6 + 8x^6
pondo x^6 em evidência,vem:
x^6 (1 + 2 + 8)
= 11 x^6.

O Oitavo Termo

Progressão Aritmética
A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150.O 8º termo dessa PA é:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11

Resposta:

a8 = a1 + 7r
a15 = a1 + 14r
s15 = (a1 + a15) n / 2
150 = (a1 + a1 + 14r ) . 15 / 2
300/15 = 2a1 + 14r
2a1 + 14r = 20
2(a1 + 7r) = 20
2(a8) = 20
a8 = 20 /2
a8 = 10----->letra d).

Soma dos Vinte Primeiros

Progressão Aritmética
Numa progressão aritmética o termo geral é an = 3n+2 , n pertence IN*. A soma dos 20 primeiros termos é:
a)670
b)570
c)470
d)370
e)270

Resposta:

a1= 3 + 2
a1 = 5
a20 = 60 + 2
a20 = 6 2
s20 = (5 + 6 2)20 / 2
s20 = 67. 10
s20 = 670--->letra a).

Operando com Radicais

Radical
O quociente [7√3 - 5√48 + 2√192] /3√3 é igual a:?
a)2
b)1
c)1/2
d)3√3
e)2√3

Resposta:

[7√3 - 5√48 + 2√192] /3√3

[7√3 - 5√(3.16) + 2√(3.64)] /3√3

[7√3 - 20√3 + 16√3] /3√3

√3[ 7 - 20 + 16 ] /3√3
3√3 / 3√3
= 1----->letra b).

Potência nos Complexos

Potência em C
Calcular o valor do complexo i elevado à 53.

Resposta:

53/4

= 13 e resto = 1
logo:
i¹ = i.

Complexo e Real

Números Reais
Determinar os números reais x e y tais que (2x + 2i) + (3 + yi) = 5 + 7i.

Resposta:

2x +3 + 2i + yi = 5 +7i
2x + 3 + (2 + y)i = 5 + 7i
2x + 3 = 5---->2x = 2---> x = 1
2 + y = 7
y = 7 - 2----> y = 5.

Relação Trigonométrica

Identidade Trigonométrica
Ao simplificar a expressão y = cossec x . tg x,encontramos:
a)secx
b)tgx
c)1/senx
d)cotgx
e)cosx

Resposta:

y = 1/senx . senx / cosx
y = 1/cosx
y = secx
letra a).

Equação da Reta

Geometria Analítica
Ache a equação da reta que é paralela a reta de equação 3x - 2y + 1 = 0 e passa pelo ponto A(-2,5).

Resposta:

Para ser paralela é necessário que m de r seja igual a m de s;
reta s: -2y = 3x + 1
y = 3/2x + 1/2
m de s = 3/2 = m de r
reta r: y - yo = m(x - xo)
A(xo,yo)----->A(-2,5)
logo vem:
y - 5 = 3/2(x + 2)
3x - 2y + 16 = 0 que é a equação da reta pedida.

O Paralelogramo e a Diagonal

Trigonometria
Em um paralelogramo, dois lados consecutivos medem 7 cm e 4 cm. Se o seu ângulo obtuso mede 120°, calcule a medida da maior diagonal desse paralelogramo.
(Use cos 120° = -1/2).


Resposta:

x² = a²+b²-2.a.b.cos120º
x²= 4²+7²-2.4.7.(-0,5)
x²= 16+49-56.(-0,5)
x²= 65+28
x² = 93
x = √93
x = 9,6 cm.

O Desconto na Loja

Percentagem
O mesmo modelo de uma geladeira esta sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo:
na 1° loja, sobre o preço de R$800,00,tem um desconto de 8%;
na 2° loja, sobre o preço de R$820,00, tem um desconto de 10%.
Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o cliente?

Resposta:

8% de 800 = 64------>800 - 64 = 736
10% de 820 = 82----->820 - 82 = 738
a 1ª oferta é mais conveniente,pois é menor que R$738,00.

Vértice da Parábola

Equação do 2º Grau
Encontre o par ordenado do vértice da parábola y = 2 x² - 3 x + 1.

Resposta:

xv = -b/2a

- (-3)/ 2.2
xv = 3/4
yv = - ∆/4a

- (9 - 4.2.1)/4.2
yv = -1/8
V = (3/4, -1/8).

Quando a Função é Composta

Se f e g são funções tal que f(x) = 3x - 1 e f(g(x))= x, determine g(x).

Resposta:

fog = 3(g(x)) - 1
mas, fog é igual a x,logo:
x = 3.(g(x)) - 1
x + 1 = 3(g(x))
3(g(x)) = x +1
g(x) = (x + 1) / 3.

Composição de Função

Sejam as funções f(x)=x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(1)).

Resposta:

fog=(2x +1)² - 2(2x + 1) + 1
fog(1) = 3² - 2(3) + 1
fog(1)= 9 - 6 + 1
fog(1)= 4.

O Relógio e seus Ponteiros

Determine, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2h 15 min.

Resposta:

usamos o esquema:
Ponteiro Horas : 30.h + 0,5. min
Ponteiro Minutos: 6. min, daí vem:
30.2 + 0,5.15 = 60 + 7,5 = 67,5º
6.15 = 90º
Ângulo formado entre eles = 90º - 67,5º = 22,5º.



O Valor Desconhecido

Equação Irracional
O valor de x na equação x - 1 = √(x + 1),é:
a)um número primo
b)um número par
c)menor que 1
d)0
e)-
1

Resposta:

(x-1)² = (√x+1)²
x²-2x+1 = x+1
x²-3x = 0
x(x-3) = 0
x' = 0
x-3 = 0
x'' = 3
para x = 3
3-1 = √3+1
2 = √4
2 = 2
x = 3,é somente o valor que é raíz da equação.
então 3, é primo.----->letra a).

O Triplo do Maior

Sistema de Equações do 1º Grau
A soma de dois números é igual a 50.O número maior é o quádruplo do menor.O triplo do maior número é:
a)120
b)90
c)60
d)30
e)21

Resposta:

a ===>maior
b====>menor
a + b = 50
a = 4b
4b + b = 50
5b = 50
b = 50/5
b = 10
a = 4.10
a = 40
3.a = 120---->
letra a).

Radiano e Graus

Trigonometria
Converter para radianos:
a)135º
b)240º

Resposta:

a)180º--------->π
135º--------->x
x = 135.π /180
x = 3π/4 rad.

b)180º------->π
240-------->x
x = 240.π /180
x = 4.π / 3 rad.

O Tempo de Ultrapassagem

Movimento Retilíneo Uniforme
Dois carros percorrem uma estrada, separados pela distância de 50 m, com a mesma velocidade constante de 15 m/s. Um terceiro carro percorre a mesma estrada, no mesmo sentido que os dois primeiros, com velocidade de 20 m/s. Qual é o intervalo de tempo que separa as duas ultrapassagens do terceiro carro pelo primeiro e segundo, respectivamente:
a)20s
b)10s
c)40s
d)50s
e)55s


Resposta:

carro a-------->Sa = Soa + Va.t
Sa = Sb = 50 + 15t
terceiro carro----->Sc = Soc + Vc.t
Sc =0 + 20.t
Sc = 20.t
no momento da ultrapassagem os espaços são iguais,logo:
Sc = Sa
20.t = 50 + 15.t
5t = 50
t = 10s----->letra b).

Fração de Fração

Operação com Fração
O valor de 7/9 de 2/3 de 5/8 é:
a)35/108
b)108/35
c)29/10
d)10/29
e)zero

Resposta:

7/9 x 2/3 x 5/8 =
35 / 108---->letra a).

A Razão e o Produto

Progressão

Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36.
Ache a razão da progressão.


Resposta:

a1 = 10
n = 8
q = ?
a8 = a1 . q^7 = an = 10 . q^7
log(Pn) = 36------>10^36 = Pn
Pn =√(a1.an)^n
Pn =√(10 . an)^8
10^36 = √(10^8 . an^8)
10^36 = 10^4 . an^4
10^36 / 10^4 = an^4
10^32 = an^4
10^32 = (10 . q^7 )^4
10^32 = 10^4 . q^28
q^28 = 10^32 / 10^4
q^28 = 10^28
q = 10 ---->que é a razão procurada.

O Plano e a Rampa

Relação Trigonométrica no Triângulo Retângulo

Uma rampa de 80 m de comprimento faz ângulo de 30° como plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa eleva-se verticalmente que altura?

Resposta:

sen 30º = cateto oposto / hipotenusa
1 / 2 = x / 80
2x = 80
x = 80/2
x = 40 m---> que é a altura que a pessoa eleva-se verticalmente ao subir a rampa.

O Salário do Prefeito e a Multa

Equação do 1º Grau

O prefeito de uma pequenina cidade do interior, foi multado pelo Tribunal de Contas em R$ 12 mil, importância correspondente à 30% dos seus vencimentos no primeiro quadrimestre de 2008, por ferir a Lei de Responsabilidade Fiscal (LRF).

Com base neste relato, qual a diferença entre o valor da multa aplicada e o salário mensal do prefeito?

Resposta:

x----->salário do prefeito
4x---->salário do prefeito no quadrimestre
logo vem:
30 / 100 .4 x = 12 mil
12x /10 = 12
x = 10 mil
12 mil - 10 mil = 2 mil ---->que é a diferença entre a multa e o salário mensal.

Tempo de Festa

Equação do 1º Grau

Em uma festa o número de mulheres era o triplo no número de homens. Durante a festa 75 mulheres saíram e 150 homens chegaram, sendo que no final da festa o número de homens era o dobro de número de mulheres. Então, quantas pessoas tinham na festa?

Resposta:

no início:
homens----->x
mulheres---->3x

no meio da festa:
homens---->x + 150
mulheres--->3x - 75

no final da festa:
homens---->x + 150 = 2(3x - 75),daí temos:
x -6x = -150 -150
-5x = -300
5x = 300
x = 60---->que é o número de homens
3.60 = 180--->que é o numero de mulheres
logo, tinham 60 + 180 = 240 pessoas na festa.

A Abcissa e a Função

Função do 1º Grau

Determine m de modo que o gráfico da função f(x) = -2x + 4 m + 5, intercepte o eixo x no ponto de abcissa 3.

Resposta:

o ponto é p(3,0),logo vem:
y = -2x + 4m + 5
0 = -2(3) + 4m + 5
0 = -6 + 4m + 5
0 + 6 - 5 = 4m
1 = 4m
4m = 1
m = 1/4.

Venda com Desconto

Porcentagem

Um mesmo modelo de uma geladeira esta sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo:

na 1ª loja, sobre o preço de R$800,00 há um desconto de 8%;

na 2ª loja, sobre o preço de R$820,00 há um desconto de 10%. Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o cliente?

Resposta:

8% de 800 = 64------>800 - 64 = 736
10% de 820 = 82----->820 - 82 = 738
a 1ª oferta é mais conveniente,pois é menor que R$738,00.

Salário mais Comissão

Porcentagem

Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 700,00 por mês ,mais uma comissão de 5% sobre as vendas que excederem a R$ 1.000,00.Qual seria o seu salário em um mês cujas vendas atingiram R$ 2.800,00?

Resposta:

5% de 1800 = 90
700 + 90 = 790
seu salário mais comissão foi R$ 790,00.

O Ângulo e sua Tangente

Trigonometria

Se α está no intervalo [0, π/2] e satisfaz sen^4α - cos^4α = 1/4, então o valor da tg de α é:
a)√3/5
b)√5/3
c)√3/7
d)√7/3
e)√5/7


Resposta:

(sen² α + cos² α) . (sen² α - cos² α) = 1/4
1 .(sen² α - cos² α) = 1/4
sen² α = 1/4 + cos² α
1/4 + cos² α + cos² α = 1
2cos² α = 1 - 1/4
2cos² α = 3/4
cos α = √3 / 8 (1º quadrante)
sen²α = 1 - cos²α
sen α = √5 / 8 (1º quadrante)
tg α = sen α / cos α
tg α = √5/8 / √3/8
tg α = √5/3--->
letra b).

Solução para o Sistema

Sistema de Equações
Se 2x² + 3y² = 2 e y - x = -1,qual o conjunto-solução do sistema?

Resposta:

2x² + 3y² =2 (1)
-x + y = -1 (2)
isolando y em (2) e substituindo em (1),temos:
y = x -1
2x² + 3(x-1)² = 2
2x² + 3(x² - 2x + 1) = 2
5x² - 6x + 3 = 2
5x² - 6x + 1 = 0
(6 ±√4) / 10
x' = (6 + 2) / 10
x' = 4/5
x'' = 6 - 2) / 10
x'' = 2/5
y = x - 1
y' = x' - 1
y' = 4/5 - 1
y' = -1/5
y'' = x'' - 1
y'' = 2/5 - 1
y'' = - 3/5
S = {(4/5 , -1/5),(2/5 , -3/5)}.

Equação Exponencial

Expressão Logarítimica
Se 3x = 1 / 729 e log ³√4 na base y é igual à 2/3.Então o valor de x + y é:
a)-4
b)4
c)5
d)6
e)7

Resposta:

3x = 1 / 3^6
3x = 3^-6
x = -6
por outro lado:
y^2/3 = ³√4
³√y² = ³√4
y² = 4----------->y = 2
logo x + y ------> -6 + 2
x + y = -4
letra a).

Soma dos ângulos

Geometria Plana
Um triângulo tem os seguintes ângulos: 2x, x, e x + 15. Qual é o valor do maior ângulo?
a)82º30'
b)41º
c)15º30'
d)81º25'
e)15º

Resposta:

x + 2x + x+15 = 180
4x = 180 - 15
4x = 165
x = 165/4
x = 41º 15'
2x = 82º 30'
x + 15 = 56º 15'
o maior ângulo é 82º30'--->letra a).

A Reta e a Reduzida

Equação da Reta
Ache a equação reduzida da reta 2x + 4y - 7 = 0.

Resposta:

forma geral:ax + by + c = 0
logo: 2x + 4y - 7 = 0
reduzindo,temos:
4y = -2x + 7
y = -2x/4 + 7/4
y = -x/2 + 7/4.

A gorjeta

Sistema de Equação Em uma sexta-feira, o total de 180 reais de gorjeta foi repartido igualmente para um certo número de frentistas.No dia s...