Alimento para o Acampamento

Regra de Três Inversa
Num acampamento tem 48 pessoas e alimento suficiente para um mês.Retirando-se 16 pessoas, para quantos dias dará a quantidade de alimento?

Resposta:

pessoas----------->dias
48---------------->30
32---------------->x
32/48 = 30/x
32x = 1440
x = 1440/32
x = 90/2
x = 45 dias.

Mais Operários,Menos Dias

Regra de Três Composta Inversa
Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias,trabalhando 8 horas por dia;quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra, em 14 dias; trabalhando 10 horas por dia?

Resposta:

operários------->dias-------->horas
35------------->24----------->8
x-------------->14----------->10
35/x = 14/24 * 10/8
35/x = 140/192
140x = 6720
x = 6720/140
x = 48 operários.

As Máquinas e o Empacotamento

Regra de Três Composta Inversa
Duas máquinas empacotam 100 litros de leite por dia.Quantas máquinas são necessárias para empacotar, 200 litros de leite, em meio dia?

Resposta:

máquina-------->litro------->hora
2-------------->100--------->24
x-------------->200--------->12
2/x = 100/200 * 12/24
2/x = 1200/4800
2/x = 1/4
x = 8 máquinas são necessárias.

O Cimento Gasto na Laje

Regra de Três Direta
Numa laje de concreto de 6 cm de espessura, foram gastos 30 sacos de cimento de 40kg cada.Se a laje tivesse apenas 5 cm de espessura,quantos quilos se gastaria de cimento?

Resposta:

espessura------------->sacos
6 cm------------------>30
5 cm------------------>x
6 / 5 = 30 / x
6x = 150
x = 150 / 6
x = 25 sacos,logo seriam gastos 25.40 kg = 1000kg de cimento.

Tempo Gasto na Viagem

Regra de Três Inversa
Numa viagem de automóvel,uma pessoa gastou 9horas andando a velocidade de 80km/h.Na volta,quanto tempo irá gastar,se andar com a velocidade 100km/h?

Resposta:

tempo----------->velocidade
9h-------------->80km/h
x--------------->100km/h
x / 9 = 80 / 100
100x = 720
x = 7,2h ou irá gastar 7 horas e 12 minutos.

O Momento é agora

A Hora do Planeta
SYDNEY, Austrália (AFP) - Centenas de locais mundialmente famosos, como o Cristo Redentor, a Torre Eiffel ou a Cidade Proibida, ficarão às escuras neste sábado durante a Hora do Planeta, uma ação destinada a promover a luta contra o aquecimento climático durante o qual se prevê a participação de milhões de pessoas.
Organizada pelo Fundo Mundial para a Natureza (WWF), a operação adquiriu uma dimensão mundial em 2008 e no sábado, às 20h30 locais (9H30 GMT), mais de 1.200 edifícios apagarão suas luzes.
Esta quarta edição, que acontece três meses depois do fracasso da cúpula do clima de Copenhague, promete ser a mais seguida, com 125 países participantes ante os 88 do ano anterior, anunciaram os organizadores.
"A acolhida dada à Hora do Planeta foi imensa. A taxa de respota é muito superior ao ano passado", afirmou com satisfação o fundador do movimento, Andy Ridley.
"Supõe-se que a operação Hora do Planeta vai ultrapassar as fronteiras geográficas e econômicas", acrescentou.
O movimento nasceu em Sydney em 2007, quando 2,2 milhões de pessoas permaneceram às escuras durante 60 minutos para sensibilizar a opinião pública sobre o consumo excessivo de eletricidade e a poluição por dióxido de carbono.
Muitas multinacionais como o Google, Coca-Cola, Hilton, McDonalds, Canon, HSBC ou Ikea aceitaram participar no apagão pelo bem do planeta.
Sydney será, pela diferança horária, a primeira a mergulhar na escuridão, com o apagar das luzes da Ópera. Depois as luzes serão apagadas nas Pirâmides do Egito, a Fontana de Trevi e a Torre de Pisa, na Itália, ou a Torre Eiffel de Paris.
No Rio de Janeiro, o Cristo Redentor permanecerá às escuras e a prefeitura organiza várias atividades como um vigília à luz de velas na Lagoa Rodrigo de Freitas.
Em Pequim, a Cidade Proibida e o emblemático Ninho do Pássaro, estádio dos Jogos Olímpicos de 2008, também ficarão às escuras. Estes apagões adquirem um significado especial neste país, símbolo de um crescimento econômico fulgurante acompanhado de uma contaminação que ostenta o título de maior poluente do mundo.
No Japão, o Memorial da Paz de Hiroshima participará na operação enquanto que os grupos Sony, Sharp e Asahi apagarão suas luzes em Tóquio.
Em Dubai, a Burj Khalifa, a maior torre do mundo, sumirá na escuridão.
Em dezembro, a Conferência de Copenhague, sob patrocínio da ONU, desembocou em um acordo de mínimos entre 30 países, dos 192 participantes.
O acordo fixa como objetivo limitar a dois graus a elevação média da temperatura do planeta, mas é impreciso sobre como se conseguirá ao não cifrar objetivos a curto prazo (2020) nem a médio (2050).

O Trigo e a Farinha

Regra de Três Direta
Com 100kg de trigo podemos fabricar 65kg de farinha .Quantos quilogramas de trigo são necessários, para fabricar 162,5kg de farinha?

Resposta:

trigo------------>farinha
100 kg----------->65 kg
x---------------->162,5 kg
100 / x = 65 / 162,5
65x = 100 . 162,5
65x = 16250
x = 16250 / 65
x = 250kg--->é quanto precisa-se de trigo.

O Trabalho dos Operários

Regra de Três Inversa
Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho,quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias?

Resposta:

operários----------------> dias
15----------------------->10
x------------------------>6
x / 15 = 10 / 6
6x = 15 . 10
6x = 150
x = 25--->é o numero de operários que farão o mesmo trabalho em 6 dias.

O Maior dos Números

Equação do 1º Grau
A soma de quatro números consecutivos é 134.Qual é o maior deles?

Resposta:

x
x+1
x+2
x+3
logo: x + x+1 + x+2 + x+3 = 134
4x = 134 - 6
4x = 128
x = 128/4
x = 32
x+1= 33
x+2= 34
x+3=35----->que é o maior número.

A Posição dos Dois Corpos

Movimento Retilíneo Uniforme
Dois corpos se deslocam sobre a mesma trajetória obedecendo às funções horárias S'= 3 - 8t e S''= 1+2t(SI).Determine o instante e a posição do encontro.

Resposta:

Quando se encontram a posição dos dois corpos são iguais; logo vem:
S' = S'',daí:
3 - 8t = 1 + 2t
2t + 8t = 3 - 1
10t = 2
t = 2/10
t = 0,2 s--->instante do encontro
substituindo t = 0,2 s ,em qualquer uma das funções,temos:
S'' = 1 + 2 . 0,2
S'' = 1 + 0,4
S'' = 1,4 m,----->posição do encontro.

Achando o Valor da Expressão

Expressão Numérica
Se x = 0 + 0. 10 + 1/2 . 3 . 10²,então o valor de (x/5²)² é:
a)36
b)35
c)34
d)24
e)25


Resposta:

x = 0 + 0 . 10 + 1/2 . 3 . 10²
x = 0 + 0 + 3/2 . 100
x = 0 + 300 / 2
x = 0 + 150
x = 150;
daí,(150/5²)²
fica: (150/25)²--->(6)²= 36--->letra a).

A Praia e o Barco

Trigonometria
De uma ponta da praia avista-se com um ângulo de 45°, em relação a horizontal, o alto de uma torre de 50m. A torre fica numa ilha.Para transportar material da praia à ilha, um barqueiro cobra R$0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz ?
a)R$18,00
b)R$17,00
c)R$16,00
d)R$15,00
e)R$14,00

Resposta:

tg 45º = 50 / x
√2 / 2 = 50 / x
√2 x = 100
x = 50√2 m
se √2 = 1,4.
x = 50.1,4
x = 70 m
mas ,70 . 0,20 = R$14,00;
letra e).

O Efetivo da Unidade Militar

Problema do 1º Grau
Em uma unidade do Exército, a soma do efetivo formado por soldados e cabos é de 65. Em determinado dia, 15 soldados não apareceram ao expediente. Em consequência dessas faltas, o efetivo de cabos, ficou igual ao efetivo de soldados presentes naquele dia. Qual é o mínimo múltiplo comum entre o número total de soldados e cabos desta unidade militar?
a)280
b)260
c)200
d)240
e)220


Resposta:

65 - 15 = 50
naquele dia ficaram 25 cabos e 25 soldados;
logo na unidade militar,existem 25 cabos e 40 soldados;
mmc(40,25) = 2³ . 5²
mmc = 8 . 25 = 200
letra c).

Dobro da Raíz Quadrada

Operação com Radical
Qual é o número,diferente de zero, cuja soma do dobro da raíz quadrada com 1/3 do número é igual ao próprio número?
a)9
b)8
c)6
d)4
e)2

Resposta:

o número----->x
dobro de sua raíz quadrada-------->2 √x
1/3 do número----->(1/3)x, daí vem:
2 √x + (1/3)x = x
6 √x + x = 3x
6 √x = 2x
fazendo x = t²,obtemos:
6 √t² = 2t²
2t² - 6t = 0
2t(t - 3) = 0
2t = 0------>t = 0
t - 3 = 0 ------->t = 3,então:
x' = 0² ---->x' = 0
x'' = 3²---->x'' = 9----->letra a).

A Base 10 do Logarítmo

Operação com Logarítmos
Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, o log 72,será:
a)1,84
b)1,74
c)1,64
d)1,54
e)1,44

Resposta:

72 = 2³ . 3²
log (2³ . 3²)
log 2³ + log 3²
3log 2 + 2log 3
3.0,30 + 2.0,47
0,90 + 0,94
=1,84---->letra a).

A Raiz Positiva

Equação do 2º Grau
A raiz positiva da equação (2 + 3x/2 )² = 16,é:
a)4/3
b)4/5
c)1/3
d)4
e)1

Resposta:

4 + 4.(3x)/2 + 9x²/4 = 16
16 + 24x + 9x² = 64
9x² + 24x - 48 = 0
x' = 4/3
x'' = - 4
letra a).

A Massa da Bicicleta

Quantidade de Movimento
Um ciclista, juntamente com sua bicicleta tem massa de 80 kg. Partindo do repouso de um ponto do velódromo, ele acelera com aceleração escalar constante de 1,0 m/s². Calcule o módulo da quantidade de movimento do sistema ciclista-bicicleta decorridos 20 s da partida.
a)1600kg.m/s
b)2800kg.m/s
c)250kg.m/s
d)230kg.m/s
e)25kg.m/s

Resposta:

Q = m.V
V = Vo + at
Q = ?
m = 80kg
V = ?
t = 20s
Vo = 0
V = 0 + 1. 20
V = 20m/s
Q = 80.20
Q = 1600kg.m/s------>letra a).

Natural,Par e Consecutivo

Operação com Números Naturais
Se três números naturais são pares e consecutivos tais que o triplo do menor é igual a soma dos outros dois, então o maior deles é igual à:
a)21
b)17
c)15
d)12
e)10


Resposta:

x
x + 2
x + 4
3x = x + 2 + x + 4
3x = 2x + 6
x = 6
x + 2 = 8
x + 4 = 10----> que é o maior---->letra e).

As Caixas de Sabão em Pó

Problema do 1º Grau
Em um supermercado , foram vendidas 228 caixas de duas marcas de sabão em pó. "Lava Azul" vendeu oo triplo do que vendeu "Lava Verde" . Quantas caixas foram vendidas do sabão "Lava Verde"?
a)57
b)59
c)65
d)68
e)171


Resposta:

x + y = 228
x = 3y
3y + y = 228
4y = 228
y = 57.logo vem:
x = 3. 57
x = 171,
logo foram vendidas 57 caixas----->
letra a).

A Primitiva e sua Derivada

Derivada
Dada a função f(x)= x³+2x-2,então f '(2) é:
a)14
b)12
c)11
d)10
e)7


Resposta:

f'(x) = 3x² + 2 - 0
f'(x) = 3x² + 2
logo,f'(2)= 3(2)² + 2
f'(2) = 12 + 2
f'(2) = 14--->letra a).

O Gasto do Salário

Percentagem
Seu Khontumaz Sacrificado ganha R$ 840,00 por mês.Ele gasta o seu salário do seguinte modo : 37% com alimentação, 21% com aluguel e 39% com outras despesas.O valor mensal que lhe resta, em reais ,é?
a)10,25
b)12,52
c)20,25
d)25,20
e)30,52


Resposta:

37 + 21 + 39 = 97
100% - 97% = 3%
3/100 . 840
3 . 84/10
R$ 25,20---->letra d).

Os Alunos e a Escola

Porcentagem
Em uma escola, as 480 meninas representam 30% do número total de alunos.Quantos alunos do sexo masculino,estudam nessa escola?
a)1120
b)2110
c)1210
d)1102
e)2101


Resposta:

30/100 .x = 480
30x = 48000
x = 4800/3
x = 1600 alunos,mas:
1600 - 480 = 1120 meninos----->letra a).

Diferença de Variáveis

Sistema do 1º Grau
O valor de x - y,no sistema abaixo é:
[5x + 7y = 12
[3x - 9y = -6
a)0
b)3
c)4
d)5
e)6


Resposta:

3x - 9y = -6 , é o mesmo que: x - 3y = -2,logo temos:
[5x + 7y = 12 (1)
[x - 3y = -2 (2)
multiplicando (2) por -5 e somando com (1), vem:
22y = 22
y = 1
x - 3.1 = -2
x = -2 + 3
x = 1,daí vem:
x - y = 1 - 1 = 0---->letra a).

O Real e o Imaginário

Conjunto dos Complexos
Seja W = (1-i)^n,sendo n um número natural,então:
a)se n é um número par,W é sempre imaginário
b)se n é um número par,W é sempre complexo
c)se n é um número par,W é irracional
d)se n é um número par,W é natural
e)se n é um número par,W pode ser real


Resposta:

W² = 1 - 2i + i²
W² = 1 - 2i - 1
W² = -2i,mas:
(W²)² = (-2i).(-2i) = -4----->
letra e).

Valor Numérico Encontrado

Expressão
Ao calcular o valor numérico de (1/3).(5/2) +(0,5/0,3)² - (2/3) / (4/9),encontramos:
a)19/9
b)19/8
c)19/7
d)7/18
e)9/17


Resposta:

5/6 + 25/9 - 3/2
(15 + 50 -27) / 18
38/18
= 19/9--->letra a).

Revistando os Visitantes

Equação do 1º Grau
Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas a menos que o segundo e este revistou 8 a menos que o terceiro. O número de pessoas revistadas pelo:
a)primeiro foi 40
b)segundo foi 50
c)terceiro foi 62
d)segundo foi 54
e)primeiro foi 45

Resposta:

1º-->a
2º-->b
3º-->c
logo vem:
a + b + c = 152
a = b - 12--->b = a + 12
b = c - 8 ---->a + 12 = c - 8----> a + 20 = c
daí: a + a + 12 + a + 20 = 152
3a = 152 - 32
3 a = 120
a = 40---->que é o 1º, ---->letra a).

A Quantidade de Termos

Progressão
A P.A {3,5,7,...,57},tem uma quantidade de termos que é:
a)um número par
b)um número ímpar
c)um número primo diferente de 2
d)um número irracional
e)um quarto de 14

Resposta:

a1 = 3, an = 57 , r = 2 e n = ?
an = a1 + (n - 1) . r
57 = 3 + (n - 1) . 2
54 = 2n - 2
2n = 56
n = 28---->letra a).

Limite de uma Função

Limites
Se f(x) = 3x² + 15x - 1,então:
lim f(x) - f(2) / x - 2
x-> 2,é:

a)27
b)14
c)9
d)7
e)3

Resposta:
2) = 3.2² + 15.2 - 1
f(2) = 12 + 30 - 1
f(2) = 41
f(x) - f(2) = 3.x² + 15x - 1 - 41 = 3x² + 15x - 42= 3(x² + 5x - 14)
3(x² + 5x - 14) = 3(x - 2)(x + 7)
logo:
lim 3(x - 2)(x + 7) / (x - 2)
x--->2
3(2 + 7)
3. 9 = 27--->letra a).

Parte Maior

Grandezas Proporcionais
O número 105 foi dividido em 3 partes de modo que a primeira está para a segunda, assim como 2 está para 3; e a segunda está para a terceira, assim como 4 esta para 5. A parte maior vale:
a)45
b)35
c)30
d)25
e)20


Resposta:

A + B + C = 105
A/B = 2/3----->B = 3A / 2
B/C = 4/5----->C = 5B /4--->C = 5/4 . (3A/2) --->C = 15A/8
logo, vem:
A + 3A/2 + 15A/8 = 105
8A + 12A + 15A = 840
35A = 840
A = 840/35
A = 24
B = 3. 24 / 2-----> B = 36
C = 15.24/8----->C = 45 que é a maior parte---->letra a).

Expressão Trigonométrica

Função Trigonométrica
Se N = (3cos180º-4sen210º+2tg135º) : (6cos²120º). Então seu valor é:
a)10
b)-10
c)4
d)-4
e)-2

Resposta:

N = (3 . -1 - 2 + 2) : 3/2
N= -3 : 3/2
N = -3 . 2/3
N = -2,------>letra e).

Ângulos Opostos

Geometria Plana
Dois ângulos O.P.V. (opostos pelo vértice) medem: x + 40º e 2x - 20º.A medida x, é:
a)60º
b)55º
c)50º
d)45º
e)30º


Resposta:

)x + 40º = 2x - 20º
40º + 20º = 2x - x
60º = x------->letra a).

Função Inversa

Função do 1º Grau
(UFMG) O valor de a, para que a função inversa de f(x) = 3x + a, seja f(x) = x/3 - 1,é
a)2
b)1
c)-3
d)-1/3
e)3

Resposta:

y = 3x + a,logo a inversa acha-se deste modo:
x = 3y + a
x - a = 3y
y = x / 3 - a / 3
f(x) = x /3 - a / 3(esta é a inversa)
mas,o problema diz que a inversa é x / 3 - 1,daí por comparação,temos:
-a /3 = -1
a / 3 = 1
a = 3 . 1
a = 3
letra e).

Temperatura Igual

Termometria
Qual é a temperatura em que as indicações das escalas Celsius e Fahrenheit coincidem?

Resposta:

Se TºC = TºF,temos:
TºC / 5 =( TºC - 32 ) / 9
9TºC = 5TºC - 160
4TºC = -160
TºC = -40
logo -40ºC = -40ºF.

Área e o Perímetro

Geometria Plana
Um retângulo tem 24 cm² de área e 20 cm de perímetro. Determine suas dimensões.

Resposta:

2(x + y) = 20
x + y =10
x = 10 -y
x.y = 24
y² - 10y + 24 = 0
y' = 6
y'' = 4
logo as dimensões,são 6 e 4.

O Fio de Ferro e o Prego

Transformação de Unidades
Um fio de ferro tem 4,32metros de comprimento.Quantos pregos de 3,6 cm de comprimento podem ser feitos a partir dele?
a)1,2
b)12
c)120
d)0,12
e)32


Resposta:

4,32m = 432cm,daí:
432 / 3,6 = 120 pregos
letra c).

Salário de João Pedro

Percentagem
O salário de João Pedro é R$950,00; a partir deste mês,terá um aumento de 8%.Qual será seu novo salário?

Resposta:

8% de 950,00 = R$76,00
R$950,00 + R$76,00 = R$1026,00
seu novo salário é R$1026,00.

Solução Inteira

Inequação
(CESGRANRIO) A menor solução inteira de x² -2x -35 < 0 é?
a)-5
b)-4
c)-3
d)-2
e)-1

Resposta:
As raízes dessa equação são:
x' = 7 e
x'' = -5
-5 < x < 7,quando y < 0;
logo -4 satisfaz.
Letra b).

O Perímetro e a Diagonal

Problema Envolvendo Diagonal
A altura de um triângulo equilátero é congruente a um lado de um quadrado cuja medida de uma diagonal é 4√6. O perímetro desse triângulo mede em cm:
a)24
b)18
c)16
d)12
e)11

Resposta:

)h = l
2p---->perímetro do triângulo equilátero
d =4√6
no quadrado,temos:
d² = l² + l²
(4√6)² = 2l²
96 = 2l²
l² = 48
l = √(2². 2².3)
l = h = 4√3
no triângulo,temos:
L² = h² + (L/2)²
L² = 16.3 + L²/4
L² = 48 +L²/4
4L² - L² = 192
3L² = 192
L²= 64
L = 8
logo, 2p = L + L + L
2p = 3L
2p = 3.8
2p = 24---->letra a).

Ângulos Internos e os Lados

Polígono
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 14 lados é,em graus:
a)2160
b)1260
c)2610
d)1620
e)1621

Resposta:

Sn = (n - 2) . 180
Sn = (14 - 2). 180
Sn = 12 . 180
Sn = 2160º------>
letra a).

Velocidade da Pedra

Corpo Atirado para Cima
Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade de 20 m/s. Sendo a aceleração igual a -10 m/s²,a altura máxima atingida pela pedra é:
a)20m
b)40m
c)15m
d)12m
e)25m

Resposta:

)Por Torricelli,temos:
V² = V²o + 2g∆H
o² = 400 - 2.10.∆H
20∆H = 400
∆H = 400/20
∆H = 20 m--->letra a).





O Tempo e a Estrada

Velocidade Média
Um automóvel passou pelo marco 24 km de uma estrada às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo marco 28 km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos. Qual foi a velocidade média do automóvel?
a)20km
b)30km
c)40km
d)50km
e)60km

Resposta:

Vm =?
∆s = 4 km
∆t= 4 minutos
1 hora---------------->60 minutos
xhora-----------------> 4 minutos
60 x = 4
x = 4 / 60
x = 1 /15 da hora,logo:
Vm = 4 / (1/15)
Vm = 4 . 15/1
Vm = 60 km/h---->letra e).

Descobrindo o Número de Termos

Progressão Aritmética
Quantos termos têm a P.A (1,7....,121)?
a)21
b)23
c)25
d)27
e)29

Resposta:

r = 7-1 = 6
a1 = 1
an = 121,logo:
an = a1 + (n-1).r
121 = 1 + (n-1).6
120 = 6n - 6
126 = 6n
n = 126/6
n = 21
letra a).

A Função Inversa

Função
(UFMG) O valor de a, para que a função inversa de f(x) = 3x + a, seja f(x) = x/3 - 1,é :
a)3
b)1
c)-3
d)-1/3
e)-4


Resposta:

y = 3x + a,logo a inversa acha-se deste modo:
x = 3y + a
x - a = 3y
y = x / 3 - a / 3
f(x) = x /3 - a / 3(esta é a inversa)
mas,o problema diz que a inversa é x / 3 - 1,daí por comparação,temos:
-a / 3 = -1
a / 3 = 1
a = 3 . 1
a = 3
Letra a).

A Máquina e as Peças

Regra de três
Uma fábrica produz normalmente 3.000 peças em 2,5 dias de trabalho, operando com 6 máquinas de igual capacidade operacional. No momento, porém, com duas das máquinas sem funcionar, a fábrica deve atender a uma encomenda de 4.000 peças. Quantos dias de trabalho serão necessários?
a)10
b)9
c)8
d)5
e)4


Resposta:

3000 peças---------------->2,5dias----------------->6máquinas
4000 peças---------------->x dias------------------>4máquinas
2,5/x = (3000 . 4) / (4000 . 6)
2,5/x = 3/6
2,5 / x = 1/2
x = 2 . 2,5
x = 5 dias---->letra d).

O Limite e sua Tendência

Limites
Se f(x) = 3x² + 5x - 1,calcule:
lim f(x) - f(2) / (x - 2)
x-->2


Resposta:

f(2) = 3.4 + 10 -1
f(2 = 21
f(x) - f(2) = 3x² + 5x - 1 - 21 =
3x² + 5x - 22
(x - 2)(3x + 11)
lim (x - 2)(3x + 11) / (x - 2)
x---->2
3. 2 +11
= 17.

A Distância e a Ultrapassagem

Equação Horária do Espaço
Dois carros percorrem uma estrada, separados pela distância de 50 m, com a mesma velocidade constante de 15 m/s. Um terceiro carro percorre a mesma estrada, no mesmo sentido que os dois primeiros, com velocidade de 20 m/s. Qual é o intervalo de tempo que separa as duas ultrapassagens do terceiro carro pelo primeiro e segundo, respectivamente:

a)50 s
b)45 s
c)40 s
d)10 s
e)11 s


Resposta:

carro a-------->Sa = Soa + Va.t
Sa = Sb = 50 + 15t
terceiro carro----->Sc = Soc + Vc.t
Sc =0 + 20.t
Sc = 20.t
no momento da ultrapassagem os espaços são iguais,logo:
Sc = Sa
20.t = 50 + 15.t
5t = 50
t = 10s----->letra d).

Função Tangente

Relações Trigonométricas
Sabendo que cos x = 12/13 , e que x está no 1º quadrante,qual o valor de tgx?
a)5/12
b)13/5
c)5/13
d)5
e)13

Resposta:

sen²x = 1 - cos²x
sen²x = 1 - 144/169
sen²x = 25/169
senx = 5/13
tgx = senx / cosx
tgx = 5/13 . 13/12
tgx = 5/12---->letra a).

Soma dos Quadrados

Produto Notável
Sejam (x + y)² = 199 e x² + y² = 129. Qual o valor da expressão x.y?
a)15
b)25
c)35
d)70
e)90

Resposta:

199 = x² + 2xy + y²
199 = x² + y² + 2xy
199 = 129 + 2xy
70 = 2 xy
xy = 70/2
xy = 35---->letra c).

A Torta e o Padeiro

Proporção
Em 6 dias de trabalho, 12 padeiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 4 padeiros poderão fazer 320 tortas?
a)9
b)8
c)7
d)6
e)5


Resposta:

6 dias-------->12 padeiros---------->960 tortas
x dias--------> 4 padeiros---------->320 tortas
as grandezas padeiros e dias,são inversas proporcionalmente,pois quando diminui o nº de pdeiros ,aumenta o nº de dias,aí passa ser 4/12;
as grandezas tortas e dias são diretas proporcionalmente,pois se diminui o nº de tortas vai diminui o nº de dias; desta forma ,temos:
6/x = 4/12 . 960/320
6/x = 1/1 . 80/80
6/x = 1
x = 6.1
x = 6 dias---->letra d).

O Tempo e a Aceleração

Movimento Variado
Um móvel com aceleração constante,passa por um ponto A com velocidade escalar 5m/s e por um ponto B com velocidade escalar 10m/s; entre suas passagens por A e B decorre um intervalo de tempo de 10s.Qual a distância entre os dois pontos A e B ?

Resposta:

a = (V - Vo) / ( T - To)
a = (10 - 5) / (10 - 0)
a = 5 / 10
a = 1/2
mas,por Torricelli vem:
V² = V²o + 2a∆S
100 = 25 + 2.1/2 . ∆S
100 - 25 = ∆S
∆S = 75 m.

Limitando a função

Limite
Calcular o limite de:
lim [(2 + h)^4 - 16] / h
h-->0


Resposta:

Y´= 4(2 + h)³ . 1] /1
y'= 4(2 + h)³, logo para h --->0,vem:
4(2 + 0)³
4(2)³
4.8 = 32.

A Velocidade e o Tempo

Movimento Uniforme
Um móvel com velocidade escalar de 72km/h, percorre certa distância em 4s.Com que velocidade percorreria a mesma distância em 40 segundos?

Resposta:

V = 72km/h = 20m/s
t = 4s
logo:
V = s /t
20 = s / 4
s = 80m,mas:
V = 80 / 40
v = 2m/s.

A Velocidade e a Distância

Movimento Uniforme
Um veículo saiu de uma cidade A para a cidade B mantendo uma velocidade média de 20m/s . Sabendo que ele gastou 2 horas para realizar esse percurso , então a distância, entre as duas cidades é:
a)144km
b)160m
c)160km
d)144m
e)80m


Resposta:

∆t = 2h
V = 20m/s
V = 72km/h
logo:
V = ∆s/∆t
72 = ∆s/2
∆s = 72. 2
∆s = 144km------>letra a).

O limite da Função

Função do 2º Grau
Dado f(x) = 3x², calcule:
lim f(x) - f(2)/(x - 2)
x-> 2


Resposta:

f(2) = 3.2² = 12
logo vem:
(3x² - 12) / (x - 2)
3(x² - 4) / (x - 2)
3(x + 2)(x - 2) / (x - 2)
3(x + 2)
lim 3(x + 2)
x-->2
3 .(2 + 2)
3. 4 =
12.

O Grilo e o Retorno ao Solo

Equação Horária do Espaço
Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t²,onde h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?


Resposta:

equação horária da velocidade do grilo: V = 3 - 6t,que é a derivada primeira de h(t) = 3t - 3t²
a aceleração do grilo: a = -6m/s², que é a derivada segunda de
h(t) = 3t - 3t²
o grilo atinge altura máxima ,quando V = 0,logo
0 = 3 - 6t
t = 3/6
t = 1/2 = 0,5---->que é o tempo gasto para subir.
assim temos:
a)o grilo retorna ao solo no instante t = 1s,pois leva 0,5s para subir e 0,5s para descer.
b)a altura máxima atingida pelo grilo é:
h = 3.0,5 - 3.(0,5)²
h = 1,5 - 3.0,25
h = 1,5 - 0,75
h = 0,75 m.

Tempo Gasto pelo Trem

Movimento Retilínio uniforme
Um trem de 200m de comprimento com velocidade de 108km/h,quanto tempo gasta para atravessar um túnel de 1600m de comprimento?
a)2 horas
b)1 hora
c)30 minutos
d)30 segundos
e)1 minuto

Resposta:

∆s = 200m + 1600m = 1800m
V = 108km/h = 30 m/s
∆t = ?
V = ∆s / ∆t
30 = 1800 /∆t
∆t = 1800/30
∆t = 60 s = 1 minuto
letra e).

Do Ponto A ao Ponto B

Equação de Torricelli
Um móvel com aceleração constante,passa por um ponto A com velocidade escalar 5m/s e por um ponto B com velocidade escalar 10m/s; entre suas passagens por A e B decorre um intervalo de tempo de 10s.A distância entre os dois pontos A e B , é:
a)40 m
b)50 m
c)55 m
d)60 m
e)75 m


Resposta:

a = (V - Vo) / ( t - to)
a = (10 - 5) / (10 - 0)
a = 5 / 10
a = 1/2
mas,por Torricelli vem:
V² = V²o + 2a∆S
100 = 25 + 2.1/2 . ∆S
100 - 25 = ∆S
∆S = 75 m-->letra e).

O Expoente na Variável

Função Exponencial
Na equação exponencial 2^x + 2^x + 2^x = 24,qual o valor de x²?


Resposta:

3 . 2^x = 24
2^x = 8
2^x = 2²
x = 3
x² = 3²

x² = 9 .

Soluções Negativas

Sistema de Equações
A soma das soluções negativas do sistema abaixo, é:
[x² + y² = 13
[x . y = 6
a)12
b)11
c)10
d)-12
e)-10

Resposta:

x² + y² = 13--------->(x + y)² - 2xy = 13
x . y = 6
(x + y)² = 13 + 2xy
(x+y)² = 13 + 2.6
(x + y)² = 25
x+y = ±√25
x+ y = ±5
x' = 5 - y e
x'' = -5 - y
(5 - y) . y = 6
y² - 5y + 6 =0
y' = 3 -------------->e y'' = 2
mas, (-5 - y). y = 6
y² + 5y + 6 = 0
y''' = -2 ------------> e y'''' = -3
daí:
x' = 5 -3
x' = 2 ----> e x'' = 3
x''' = -5 - (-2) ------> x''' = -3
e x'''' = -5 - (-3)------>x'''' = -2 ,
solução: {(2,3),( 3,2),(-3,-2),(-2,-3)}
logo: -3 - 2 - 2 - 3 = -10---->letra e).

A Árvore e sua Altura Média

Logarítmos
A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui,desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático:
h(t) = 1,5 + log de (t+1) na base 3
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 metros de altura, o tempo ( em anos) desde o momento da plantação até o do corte foi de:
a)9
b)8
c)5
d)4
e)2

Resposta:

3,5 = 1,5 + log(t+1)na base 3
3,5 - 1,5 = log(t+1)na base 3
log(t+1)na base 3 = 2
3² = (t + 1)
t + 1 = 9
t = 9 - 1
t = 8 anos
letra b).

Os Catetos e o Triângulo

Geometria Plana
Um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa de 10 cm , tem os seus catetos medindo:
a)7 cm
b)8 cm
c)√20 cm
d)√50 cm
e)10 cm

Resposta:

b = c,logo:
10² = b² + b²
2b² = 100
b² = 50
b = √50----->letra d).

O Ponto e a Equação

Geometria Analítica
A distância do ponto O(1,1) à reta r, cuja equação é x + y = 3, é:
a)2
b)3
c)4
d)2 √2
e)√2 / 2

Resposta:

xo = 1 e yo = 1
a = 1 b = 1 e c = -3
dp,r = (axo + byo + c) / √(a² + b²)
dp,r = (1.1 + 1.1 - 3 ) / √(1 + 1)
dp,r = (1 + 1 - 3) / √2
dp,r = -1 / √2
dp,r = 1/√2
dp,r = (√2 ) / 2---->letra e).

O Complexo na Equação

Números Complexos
Sendo P(x) = x² - 2x + 1,o valor de P(i)+ P(2 - i), é:
a)-4i
b)-2
c)i
d)-1
e)-i


Resposta:

P(i)= 1 -2i + 1= -2i
P(2 - i) = 4 - 4i - 1 - 4 + 2i + 1 = -2i
logo:-2i - 2i = -4i---->letra a).

Quando a é Diferente de Zero

Função Afim
Seja f: IR em IR a função definida por f(x) = ax + b onde a pertence IR* e b pertence a IR. Se A pertence IR, B pertence IR e A é diferente de B, demonstre que f(A) – F(B)/ A - B = a.

Resposta:

(aA + b - aB - b ) / A - B = a
a(A - B) / A - B = a
a = a ,CQD.

Total de visitantes

Equação do 1º Grau Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas ...