O Quociente e o Resto

Sistema de Equações
Se dividirmos a soma de dois números por sua diferença,obtém-se um quociente igual a 6 e um resto igual a 10. O número maior aumentado de uma unidade,converte-se nos 4/3 do MENOR aumentado em uma unidade.
A soma destes números é:
a)37
b)46
c)57
d)82
e)95

Resposta:

[x + y = 6(x -y) + 10
[x + 1 = 4/3(y + 1)
daí,vem:
[-15x + 20y = -5
[15x - 21y = -30
____________________
-y = -35
y = 35.logo:
3x - 4(35) = 1
3x = 141
x = 47
x + y---->47 + 35 = 82
letra d).

Seno do Arco-Duplo

Trigonometria
Qual o valor de sen2x, sabendo que tg x + cotg x = 2?
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1


Resposta:

senx / cosx + cosx / senx = 2
mmc = cosx.senx
sen²x + cos²x = 2senx.cosx
como sen2x = 2senx.cosx,mas,
sen²x + cos²x = 1,logo temos:
1 = sen2x,logo:
sen2x = 1
letra e).




Derivada de um Produto

Derivada
Diferenciando a função y = x³.sen(x), encontraremos:
a) y' = x²[3sen(x) + cos(x)]
b) y' = x²[3sen(x) + xcos(x)]
c) y' = x²[3sen(x) - xcos(x)]
d) y' = x²[sen(x) + cos(x)]
e) y' = x[sen(x) - 2cos(x)]


Resposta:

y = x³senx
u = x³ e v = senx
y' = u'v + uv'
y' = x³ '.senx + x³.senx'
y' = 3x².senx + x³.cosx
y' = x².(3senx + x.cosx)
letra b).

Tangente do Arco - Duplo

Trigonometria
Dado: tg x = 1/2 , o valor de tg 2x, é:
a)1/8
b)2/3
c)1/5
d)1/4
e)4/3


Resposta:

tg 2x = 2tgx / (1 - tg² x)
tg2x = 2.1/2 / (1 - 1/ 4)
tg2x = 1 / (3/4)
tg2x = 1 .4 /3
tg2x = 4/3
letra e).

O Capital Duplicado

Juros compostos
O prazo que duplica um capital, aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m, é:
a)1 ano
b)15 meses
c)20 meses
d)25 meses
e)30 meses

Resposta:

M = C + J
2C = C + (C.4 .t / 100)
2C - C = 4t.C / 100
C / C = 4t / 100
1 = 4t / 100
4t = 100
t = 100 / 4
t = 25 meses
letra d).

Prazo de Aplicação

Juros Compostos
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a 26,8% a.a, gerando um montante de R$ 1.670,00. O prazo em que se deu essa aplicação foi de:
a)20 meses
b)30 meses
c)40 meses
d)50 meses
e)60 meses


Resposta:

M = C + J
M = C + (C . i . t)/ 100
1670 = 1000 + (1000 . 26,8 . t) / 100
670 = 268.t
t = 670 / 268
t = 2,5 anos
t = 24 + 6
t = 30 meses
letra b).

A Chegada de Mais Operários

Regra de três
Em 20 dias, 15 operários fazem a metade de um serviço. Quantos dias serão necessários para fazer uma obra inteira, se forem admitidos mais 10 operários?
a)30
b)32
c)34
d)36
e)24

Resposta:

dias ------------------>operários
20 -------------------->15 ------------------->50%
x --------------------> 25-------------------->100%
regra de três composta
20/x = 25/15 . 50/100
20/ x = 1/3 . 10/4
20/x = 10/12
10x = 240
x = 240/10
x = 24
letra e).

As Despesas de João

Equação do 1° Grau
O preço do aluguel corresponde a quinta parte do salário de João , as despesas com alimentação e transporte, correspondem a dois sétimos de seu salário.Qual o salário que João deve receber a fim de que , descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo , R$540,00?
a)R$ 2540,00
b)R$ 2450,00
c)R$ 1540,00
d)R$ 1340,00
e)R$ 1050,00

Resposta:

x - 1/5x - 2/7x = 540
35x - 7x - 10x = 35 . 540
18x = 18900
x = 18900 / 18
x = 1050
João deve receber R$ 1050,00.
letra e).

O Menor Número e a Razão

Progressão
O produto de três números em progressão aritmética é 162.Se o menor número é igual a razão, pode-se afirmar que:
a) a razão é 27.
b) a soma dos três números vale 18.
c) o maior número é 27
d) a média aritmétrica dos três números vale 12
e) o termo médio vale 81

Resposta:

(x - r . x . x + r) = 162
x-r = r----->x = 2r.logo:
(2r - r).(2r).(2r + r) = 162
6r³ = 162
r³ = 162/6
r³ = 27
r³ = 3³
r = 3
x = 2.3
x = 6
a1 = x - r
a1 = 3
a2 = 6
a3 = 9
3 + 6 + 9 = 18
letra b).

Seno do Arco-Metade

Trigonometria

Na expressão T = (x + y) - 103º,onde x = 112º 30' e y = 102º 60'; podemos dizer que 2.(senT)² é igual à:
a)1 +(√2 ) / 2
b)√(2+√2) / 2
c)sen60°
d)√(2-√2) / 4
e) sen 120°

Resposta:

(x + y) - 103º = 215º 30' - 103º = 112º 30'
sen(112º 30' = sen(90º + 22º30') =
cos 22º30' =
cos 45º / 2 = √[(2+√2) / 4]
√(2+√2) / 2,mas
[√(2+√2) / 2]² = (2 + √2 / 2) = 1 + (√2)/2
letra a).

Quanto Vale 1/3 de xis

Equação do 1º Grau
Se 1/6 de x é 1/3, quanto vale 1/3 de x?
a)5/2
b)4
c)3
d)1/2
e)2/3

Resposta:

1/6 . x = 1/3
x / 6 = 1/3
3x = 6
x = 6/3
x = 2
logo:
1/3 .2 --->(1.2) / 3 = 2/3
letra e).

Os 8 termos da P.A

Progressão
(U.F.PA) A soma de uma P.A de oito termos é 16 e a razão é -2. Então, o sexto termo é:
a)-5
b)-4
c)-3
d)-2
e)-1


Resposta:

a1 + a8 = 4
2a1 - 14 = 4
a1 = 9
a6 = a1 + 5r
a6 = 9 - 10
a6 = -1
letra e).

Lucro Total da Empresa

Percentagem
Uma empresa exporta 25% de sua produção e vende o restante no mercado interno. No último ano, essa empresa lucrou 20% sobre o valor das exportações e 32% sobre o
valor das vendas no mercado interno. Tomando-se como base, o valor total arrecadado pela empresa, seu lucro foi
a)23%
b)25%
c)26%
d)28%
e)29%

Resposta:

100% - 25% = 75%
então para exportação: 25/100
para o mercado interno: 75/100,mas:
20% de 25%----> 20/100 . 25/100 = 5 / 100
e 32% de 75% ------> 32/100 . 75/100 = 24/100
logo: 5/100 + 24/100 = 29/100 = 29%

letra e).

O Arco Duplo

Trigonometria
Sabendo que sen x = 3/5 e que x está no 2º quadrante, Calcule sen 2 x.
a)12 /13
b)-13 / 15
c)-45 / 13
d)29 / 31
e)-24 / 25

Resposta:

sen²x + cois²x = 1
cos²x = 1 - 9/25
cos²x = 16 / 25
cosx = - 4 / 5 ----->está no 2º quadrante
logo se :
sen2x = 2senx . cosx,vem:
sen2x = 2.3/5 . (-4/5)
sen2x = -24 / 25
letra e).

Crescimento Anual

Progressão
O crescimento anual de uma fábrica é sempre o dobro do ano anterior.No ano de 2003 a fábrica vendeu 2000 pneus.Qual será o total de pneus vendidos de 2003 até 2010.
a)510.000
b)601.000
c)700.000
d)77.500
e)775.000


Resposta:

q = 2
a1 = 2000
s8 = ?
logo:
s8 = a1[q^(n) - 1] / q - 1
s8 = 2000[2^(8) - 1] / 2 - 1
s8 = 2000. [256 - 1]
s8 = 2000 . 255
s8 = 510.000 pneus
letra a).

A Área do Triângulo Equilátero

Geometria Plana
Qual a área de um triângulo equilátero, sabendo que o perímetro é 27cm?
a)9
b)√18 / 4
c)27
d)√81 / 4
e)√81 / 2


Resposta:

2p = 3L
27 = 3L
L = 9
h = L.√3 / 2
S = b.h / 2
S = 9.9√3 / 2
S = 81√3 / 2
letra e).

Achando o Valor de g(1)

Função Composta
Se g: R em R é uma função definida pela expressão g(x - 2) = x³, então o valor de g(1) é igual à:
a)1
b)27
c)8
d)125
e)0

Resposta:

x - 2 = a
x = a + 2
g(a) = (a + 2)³ -------->g(x) = (x + 2)³
logo:
g(1) = (1 + 2)³
g(1) = (3)³
g(1) = 27
letra b).

O Retângulo e sua Área

Geometria Plana
A diagonal de um retângulo mede √7 cm e um dos lados mede √5 cm. Determine a área desse retângulo.
a)2
b)√3
c)√5
d)8
e)√10

Resposta:

s ---->área
diagonal = hipotenusa = √7
b = base = √5
h = altura = ?
por Pitágoras,temos:
(√7)² = h² + (√5)²
7 - 5 = h²
h² = 2
h = √2
logo, se:
s = b.h,temos:
s = √5.√2
s = √10
letra e).

O Triângulo Retângulo e sua Área

Geometria Plana
Num triângulo retângulo os catetos medem, respectivamente,√12 cm e √6 cm. A área desse triângulo,é:
a)√3
b)2√3
c)3
d)5
e)3√2


Resposta:

s---->área
s = b. h / 2
s = √12. √6 / 2
s = √72 / 2
s = √(2².2.3²) / 2
s = 6√2 / 2
s = 3√2
letra e).

Volume de Vendas da Empresa

Regra de Três
A empresa Boas Compras, teve no ano de 2008 um volume de vendas de 15.000 unidades. De acordo com o Balanço Financeiro de 2009, a empresa teve um volume de vendas de 18.000 unidades. Qual foi o percentual de crescimento nas vendas?
a)75%
b)60%
c)55%
d)35%
e)20%

Resposta:

18000 - 15000 = 3000
se:
15000------------>100%
3000------------->x
15000x = 3000 . 100
x = 3000 . 100 / 15000
x = 300 / 15
x = 20%
letra e).

Os Professores de Matemática e Física

Operação com Conjuntos
Numa escola há 16 professores. 6 ensinam apenas matemática , 5 apenas física
e 7 ensinam outras disciplinas distintas de matemática e física.Quantos são os professores que ensinam matemática e física?
a)6
b)5
c)4
d)3
e)2


Resposta:

m----->matemática
f----->física
m U f = n(m) + n(f) - m inter f
9 = 6 + 5 - m inter f
9 - 11 = - m inter f
-2 = - m inter f
m inter f = 2----.que é o número de professores que ensinam as duas matérias
letra e).

Seno do Arco Duplo

Trigonometria
Qual o valor de sen2x, sabendo que tg x + cotg x = 2?
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1


Resposta:

senx / cosx + cosx / senx = 2
mmc = cosx.senx
sen²x + cos²x = 2senx.cosx
como sen2x = 2senx.cosx,

e sen²x + cos²x = 1,temos:
1 = sen2x,

logo:
sen2x = 1
letra e).

Dobro da Medida de um Ângulo

Geometria Plana
A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45°.Qual é a medida desse ângulo?
a)15º
b)20º
c)25º
d)30º
e)45º


Resposta:

2x - (90º -x) = 45º
2x - 90º + x = 45º
3x = 135
x = 45º
letra e).

Quarta Parte do Suplemento

Geometria Plana
Qual é o valor do ângulo cuja medida é igual à quarta parte do seu suplemento?
a)6º
b)16º
c)26º
d)36º
e)46º


Resposta:

x = (180º - x) / 4
4x = 180º - x
5x = 180º
x = 36º
letra d).

Medida do Ângulo

Geometria Plana
A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110°.Quanto mede o ângulo?
a)25º
b)30º
c)45º
d)75º
e)80º

Resposta:

complemento--->90º - x
suplemento----->180º - x
logo:
90º - x + 180º - x = 110º
-2x + 270º = 110º
-2x = -160º
x = 80º---->que é o ângulo procurado
letra e).

O Ciclo Trigonométrico

Razão Trigonométrica
Qual o seno de 1590º?
a)√3
b)-√3 / 2
c)-1 / 2
d)1 / 2
e)√3 / 3

Resposta:

1590º : 360º = 4 voltas e resto 150º,logo o arco de 1590º é igual ao arco de 150º, que está no 2º quadrante.
No ciclo trigonométrico o sen 150º = sen30º = 1/2
letra d).

A corrida presidencial

Percentagem
A candidata Dilma Rousseff (PT) aparece na frente na corrida pela Presidência da República, segundo pesquisa Ibope de intenção de voto divulgada neste sábado (28). A petista tem 51% das intenções de voto contra 27% do adversário José Serra (PSDB).

De acordo com o Ibope, em terceiro lugar está Marina Silva (PV), com 7%. No levantamento anterior do Ibope, realizado nos dias 12 a 15 de agosto, Dilma tinha 43%, Serra, 32%, e Marina, 8%.

A margem de erro da pesquisa é de 2 pontos para mais ou menos. Isso indica que Dilma pode ter entre 49% e 53% e Serra, entre 25% e 29%. A pesquisa foi encomendada pela TV Globo e pelo jornal "O Estado de S. Paulo".

Os eleitores que responderam que votarão em branco ou nulo somaram 5% e os que se disseram indecisos, 9%.(pesquisa divulgada em 28/08/2010)
Com base nesse cenário,o percentual de eleitores que JAMAIS,votariam em José Serra, é:
a)26%
b)31%
c)51%
d)65%
e)72%

Resposta:

Dilma---->51%
Marina--->7%
indecisos->9%
brancos ou nulos--->5%
assim:
51 + 7 + 9 + 5 = 72
letra e).

Os Ponteiros do Relógio e o Ângulo

Operação com medida não-decimal
Qual o ângulo formado pelos ponteiros do relógio ( horas e minutos), quando ele marca 14 horas e 50 minutos?
a)265º
b)240º
c)220º
d)215º
e)210º


Resposta:

30.14 + 0,5.50 = 445
445-360= 85º
mas,6.50 = 300º
logo: 300º - 85º = 215º----->que é o ângulo formado
letra d).

Progressão Positiva

Progressão
O primeiro termo de uma P.A,de termos positivos, em que: An = 18, r = 2 e Sn = 88, é:
a)3
b)8
c)2
d)11
e)4

Resposta:

a1 = 20 - 2n
88 = (20 - 2n + 18 ).n/2
n² - 19n + 88 = 0
n' = 11
n'' = 8
a1 = 20 - 22
a1 = -2(não serve)
ou
a1 = 20 - 16
a1 = 4(serve)
P.A: (4,6,8,10,12,14,16,18)
letra e).

A Altura da Árvore e a Largura do Rio

Razão trigonométrica
Um topógrafo coloca seu teodolito à margem de um rio, onde observa uma árvore sob um ângulo de 60º. Recuando 30m, vê a mesma árvore sob ângulo de 30º. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,80m do solo, podemos dizer que a altura da árvore e a largura do rio (com aproximação de 0,01),é respectivamente em metros:
a)24,15 e 45
b)30,05 e 15
c)54 e 25
d)15,05 e 25
e)24 e 15,45


Resposta:

tg 30º = h / (30 + y)
√3/3 = h / (30 + y
h = √3(30 + y) / 3
tg 60º = h / y
√3 = h / y
h = y√3
comparando vem:
y√3 = √3(30 + y) / 3
3y√3 - y√3 = 30√3
2y√3 = 30√3
y = 15,logo a largura do rio é: 30 + 15 = 45m
h = 15√3
h = 15. 1,73
h = 25,95 - 1.80
h = 24,15 m
letra a).

Encontrando o xis

Expressão Algébrica
Seja a = 7x^4 , b = 56x e y = (a+b) / (x² + 4 - 2x) . 7x,então podemos dizer que o valor de x ,para y = 3, é:
a)1/2
b)5
c)3
d)3/4
e)1


Resposta:

y = 7x(x³+ 8) / (x² + 4 - 2x) . 7x
y = (x³ + 2³) / (x² - 2x + 2²)
y = (x +2).(x² - 2x + 2²) / (x² - 2x + 2²)
y = x + 2
se y = 3,temos:
3 = x + 2
3 - 2 = x
1 = x
letra e).

Soma do maior com o menor

Fatoração A soma do maior com o menor divisor primo de 70, é um número: a) par b) divisivel por 5 c) quadrado perfeito d)múltiplo d...