O triângulo isósceles e o quádruplo da base

Geometria Plana

Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5cm.Sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base,quanto vale o triplo do maior lado?

a)18

b)15

c)12

d)9

e)6


Resposta:

semiperimetro = perimetro / 2

perimetro do triangulo é 15

se dois dos lados são congruentes temos:

a + b + b = 15

2b = 15

a soma dos lados congruentes e o quadruplo da base,logo:

2b = 4a

substituindo na primeira equacão,vem:

a + 4a = 15

5a = 15

a = 15 / 5

a = 3

a base mede 3

os lados congruentes,medem: a + 2b = 15

3 + 2b = 15

2b = 15 - 3

2b = 12

b = 12 / 2

b = 6

maior lado mede 6cm,daí:

o seu triplo é:

3 x 6 = 18

letra a).

A área do terreno

Máximo divisor comum

Dividindo- se dois terrenos de áreas 6000 metros quadrados e 7800 m quadrados , respectivamente , em lotes iguais com a maior área possível , obtêm-se :

a)600lotes

b)19 lotes

c)23 lotes

d)13 lotes

e)10 lotes


Resposta:


fatorando 6000 e 7800,temos:

6000 = 2^4*3*5³

7800 = 2³*3*5²*13

mdc = 2³*3*5²

mdc(6000,7800) = 600,logo:

6000/600 = 10

7800/600 = 13

10 + 13 = 23,

letra c).

A escala Richter e os logarítmos

Logaritmo

A Escala Richter mede a magnitude de um terremoto. Os terremotos originam-se do movimento das placas tectônicas. O atrito de uma placa contra outra forma ondas mecânicas. Estas ondas são responsáveis pelas vibrações que causam o terremoto. O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas vibrações, utilizando uma equação logarítmica, pode calcular a magnitude do terremoto. A magnitude do terremoto pode ser calculada pela equação logarítmica: Ms= log na base 10 (A . f) + 3,30 , onde A é a amplitude e f é a frequência. Suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 micrômetros e a frequência a 0,1Hz. Qual a magnitude deste terremoto?

a)5,3

b)4,3

c)3,3

d)2,3

e)7,3


Resposta:


Ms = log [(A . f)] + 3.30

Ms = log[(1000 . 0,1)] + 3,30

Ms = log[100] + 3,30

Ms = log[100] + 3,30

mas,log100 na base 10 é igual a 2,daí:

Ms = 2 + 3,30

Ms = 5,30,

que se diz: 5,3 na escala Richter

letra a).

A produção da indústria

Função do 1°grau

A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto que é um fertilizante utilizado para combater pragas observadas na plantação de tomates. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)^x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: OBS: (0,9)^x é a mesma coisa que (0,9) elevado a x

a)549

b)654

c)743

d)810

e)920


Resposta:


y = f(x)

f(x) = 1000. (0,9)^x onde x equivale a o ano decorrido

substituindo x por 2,vem:

f(2) = 1000. (0,9)^2

f(2) = 1000.0,81

f(2) = 810 unidades,produzidas no 2º ano

letra d).

A medida do lado

Geometria Plana

O perímetro de um triângulo equilátero é 75 cm.

O valor de cada lado,é:

a)igual a V225

b)um número divisível por 3

c)múltiplo de 11

d)um número par

e)o quádruplo de 4 mais o triplo de 3


Resposta:

P = 75

Triângulo equilátero tem 3 lados iguais

L + L + L = 75

3L = 75

L = 75/3

L = 25 cm

letra e).

Descobrindo quanto cada amigo gastou

Problema do 1º Grau

Três amigos A B e C foram as compras e gastaram um total de R$ 187,00. Sabe-se que A gastou R$ 18,00 a menos que B, e esse gastou R$ 10,00 a menos que C, portanto:

a)B gastou R$ 47,00

b)C gastou R$ 65,00

c)A gastou R$ 75,00

d)A e C gastaram juntos R$ 112,00

e)B e C gastaram juntos R$ 140,00


Resposta:


A + B + C = 187

A = B - 18

B = C - 10

Substituindo B em A, temos:

A = C -10 - 18

A = C -28

Agora substituindo,A e B na equação original, temos:

C - 28 + C - 10 + C = 187

3C = 187 + 38

3C = 225

C = 225/3

C = 75

B = 75 - 10

B = 65

A = 65 - 18

A = 47

Analisando cada opção, chegamos na última:

B + C =

65 + 75 = 140

letra e).

Achando a soma dos múltiplos de 11

Progressão Aritmética
A soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 200 e 500,é:
a)4059
b)9540
c)5490
d)4950
e)9504

Resposta:

a1 = 209
an = 495
r = 11
n = ?
an = a1 + (n-1).r
495 = 209 + (n-1). 11
n = 27,daí:
s27 = (209 + 495) . 27/2
s27 = 9504
letra e).

Algarismos Distintos

Análise Combinatória

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

a)28

b)124

c)328

d)576

e)3024



Resposta:



Pelo Princípio da Contagem, temos:

9.8.7.6 = 3024 algarismos que podemos formar;

ou calculando através de arranjos:

A9,4 = 9!/(9 - 4)!

A9,4 = 9!/5!

A9,4 = 9,8.7.6.5!/5!

A9,4 = 3024

letra e).

Fatorando polinômio

Polinômios

Se P(x) = x³ - 4x² + ax + 6 e P(2) = 0, então P(x) fatorado é igual a:

a) (x + 1)(x - 2)(x - 3)

b) (x + 1)(x + 2)(x + 3)

c) (x + 1)(x + 2)(x - 3)

d) (x - 1)(x - 2)(x - 3)

e) (x - 1)(x + 2)(x + 3)


Resposta:


P(2) = 10 + 2a

0 = 2a + 10

2a = -10

a = -5

P(x) = x³ - 4x² - 5x + 6 que fatorado,fica:

(x + 1)(x - 2))(x - 3)

letra a)

Achando o determinante

Determinante

Se x for igual a 10,o determinante da matriz abaixo

[2(x-1), x-2]

[x+2, x+2] , é:

a)10

b)39

c)47

d)83

e)102


Resposta:


D = 2(x - 1).(x + 1) - (x + 2) . (x - 2)

D = (2x - 2).(x + 1) - (x² - 4)

D = 2x² + 2x - 2x - 2 - x² + 4

D = x² + 2,

D = 10² + 2

D = 100 + 2

D = 102

letra e).

Quantidades de laboratórios

Equação do 1º grau

(CESGRANRIO)O Centro de Pesquisas da Petrobras (Cenpes), que está sendo ampliado, passará a ter 23 prédios de laboratórios. Se a quantidade atual de prédios de laboratórios do Cenpes supera em 5 unidades a quantidade de prédios de laboratórios que ocuparão a parte nova, quantos prédios de laboratórios há atualmente?

a)8

b)9

c)12

d)13

e)14


Resposta:


quantidade de prédios atual = x

quantidade ampliada = x - 5

então: x + x - 5 = 23

2x = 23 + 5

x = 28/2

x = 14

letra e).

Preço da gasolina

Percentagem

(FCC)Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto passou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a

a)2,31

b)2,26

c)2,23

d)2,21

e)2,18


Resposta:

Aplicando a regra de três,vem:

2,599---------115%

x-------------100%

x = 2,26

letra b).

Percentual de agentes designados

Percentagem

(FCC)Alguns técnicos judiciários foram designados para prestar serviços de segurança em alguns setores da Justiça Eleitoral: X deles para executar a fiscalização de material para votação e, os Y restantes, junto aos órgãos apuradores. Se X é igual aos 3/5 de Y, então, em relação ao total de agentes designados, X corresponde a

a)25%

b)37,5%

c)40%

d)60%

e)62,5%


Resposta: x = 3y/5

x + y = 1 ,pois 1 é o todo ou 100%

3y/5 + y = 1

8y = 5

y = 5/8

y = 0,625

y = 625/1000

dividindo por 10,vem:

y = 62,5/100

y = 62,5%, então:

x = 1 - y

x = 1 - 62,5%

x = 1 - 62,5/100

x = (100 - 62,5)/100

x = 37,5/100

x = 37,5%

letra b.

A quantidade de moedas

Álgebra

(FCC)Ao receber um pagamento em moedas, um caixa de um Banco as contou inicialmente, encontrando x de 1 real, y de 50 centavos, z de 25 centavos, w de 10 centavos e r de 5 centavos, num total de R$ 13,40. Percebeu, em seguida, que havia se enganado, pois contara 4 moedas de 10 centavos como se fossem de 50 centavos e 3 de 25 centavos como se fossem de 5 centavos. A quantia correta recebida por ele foi

a)R$ 14,60

b)R$ 14,40

c)R$ 11,20

d)R$ 11,60

e)R$ 12,40


Resposta:


4 moedas de R$ 0,10 contadas como se fosse de R$ 0,50 gera uma diferença a menor no total anteriormente contado R$ 13,40

Essa diferença é 0,1 - 0,5 = -0,4 multiplicado pelo número de moedas.

Então vem 13,40 - 1,60 = 11,80

3 moedas de R$ 0,25 contadas como se fosse de R$ 0,05 gera uma diferença a maior em relação ao anteriormente contado.

Essa diferença é 0,25 - 0,05 = 0,2 multiplicado pelo número de moedas.

Então vem: 11,80 + 0,60 = 12,40

letra e).

Representação decimal da dízima

Dízima Periódica

(ESAF)Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação decimal?

a)2.521 / 990

b)2.546 / 999

c)2.546 / 990

d)2.546 / 900

e)2.521 / 999


Resposta:


PARA O DENOMINADOR: coloca-se 9(nove) para cada elemento do período e 0(zero) para cada elemento do ante-período; logo fica 990.

PARA O NUMERADOR:

1º junta-se um período a um ante-período ; 5 + 46 = 546

2º subitrai-se do valor formado um período ;546 - 5 =541

3º multiplica-se a parte inteira pelo denominador e soma-se ao numerador ;2 x 990 + 541 = 2521,então fica:

2521/990

letra a).

Os gastos com café e açucar

Mínimo Múltiplo comum

(CESPE)Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para abastecer com café e açúcar a copa de um escritório de advocacia. Sabendo-se que cada pacote de 500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pacote de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de café estão, nessa ordem, na proporção 2/3 , julgue os itens seguintes. O mínimo múltiplo comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é inferior a 300.

( ) Certo ( ) Errado


Resposta:


Pacotes de açucar/Pacotes de café = 2/3 Entao, a cada 2 pacotes de açucar utilizados, são gastos 3 de café. Podemos fazer a seguinte conta 2 x 4,25 = 8,5 e 3 x 5,85 = 17,55.

Para facilitar chamaremos a soma destes dois valores de KIT, o qua custa 26,05 e possui 2 pacotes de açucar e 3 pacotes de café.

Para sabermos quantos KITs foram usados fazemos 1563/26,05 = 60 KITs.

Cada KIT possui 2 pacotes de açucar = 60 x 2 = 120 e possui 3 pacotes de café = 60 x 3 = 180.

MMC(120 ,180) = 120;240;360;480...

180 = 180;360;540...

mmc = 360 que é superior a 300.

Errado.

A quantidade de pacotes

Máximo Divisor comum

(CESPE)Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para abastecer com café e açúcar a copa de um escritório de advocacia. Sabendo-se que cada pacote de 500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pacote de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de café estão, nessa ordem, na proporção 2/3 , julgue os itens seguintes. O máximo divisor comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é superior a 50.

( ) Certo ( )Errado


Resposta:


180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x5

O MDC é o produto dos fatores primos comuns:

m.d.c.(36,90) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Assim, o MDC(120,180) = 60.

Certo

A menor quantidade possível

Máximo Divisor comum

(FCC)Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar?

a)33

b)48

c)75

d)99

e)165


Resposta:


M.D.C.(120,150,225) = 15

120 : 15 = 8

150 : 15 = 10

225 : 15 = 15 , logo:

8 + 10 + 15 = 33

letra a).

Descobrindo a medida do ângulo

Trigonometria

Um triângulo tem lados 7cm,8cm e 3cm.Um de seus ângulos mede em graus:

a)30

b)45

c)60

d)90

e)120


Resposta:


Pela Lei dos cossenos,temos:

a = 7

b = 8 e c = 3,mas:

a² = b² + c² + 2bc.cosФ

Ф é o ângulo oposto ao lado a,daí:

7² = 8² + 3²+2.8.3.cos Ф

49 = 64 + 9 + 48cos Ф

49 = 73 + 48cos

Ф -24 = 48cosФ

cosФ = -24/48

cosФ = -1/2

Ф = 120

letra e).

Número de páginas digitadas

Álgebra

(FCC)Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 300 páginas de um texto a ser digitado. Entretanto, um deles foi designado para outra atividade e, assim, coube a cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o combinado. O número de páginas que cada técnico digitou foi

a)80

b)75

c)72

d)65

e)60


Resposta:

t = número de técnicos

p = quantidade de páginas

Pela 1ª hipótese: t.p=300(I)

Pela 2ª hipótese: (t - 1).(p + 15) =3 00(II)

substituindo (I) em (II),vem:

t² - t - 20 = 0,

onde t'=5 e t'' = -4(não serve).

Como t.p = 300,temos p =300/5

p = 60.

60 + 15 = 75

letra b).

Contando as moedas

Álgebra

(FCC)Ao receber um pagamento em moedas, um caixa de um Banco as contou inicialmente, encontrando x de 1 real, y de 50 centavos, z de 25 centavos, w de 10 centavos e r de 5 centavos, num total de R$ 13,40. Percebeu, em seguida, que havia se enganado, pois contara 4 moedas de 10 centavos como se fossem de 50 centavos e 3 de 25 centavos como se fossem de 5 centavos. A quantia correta recebida por ele foi

a)R$14,60

b)R$14,40

c)R$12,40

d)R$11,60

e)R$11,20


Resposta:

Valores do engano: 4 moedas de R$0,50 = R$2,00 e 3 moedas de R$0,05 = R$0,15, cujo total é R$2,15,logo vem:

R$13,40 - R$2,15 = R$11,25 daí temos:

4 moedas de R$0,10 = R$0,40 e 3 moedas de R$0,25 = R$0,75, que é igual à: R$1,15

somando-se ao valor do engano ,vem: 1,15 + 11,25 = 12,40

letra c).

Transformando km/h em m/s

Operação com horas

(FCC)A velocidade de 120 km/h equivale, aproximadamente, à velocidade de

a)33,33 m/s

b)35 m/s

c)42,5 m/s

d)54,44 m/s

e)60 m/s


Resposta:

Para transformar km/h em m/s basta dividir por 3,6 (porque 1 km = 1000 m e 1 h = 3600s).

Para transformar m/s em km/h basta multiplicar por 3,6. Portanto: 120/3,6 = 33,33 m/s

letra a).

Analisando os documentos fiscais

Frações

(FCC)Considere que Tancredo gasta, em média,N/8 horas para analisar N documentos fiscais. Assim sendo, para cada 10 documentos a mais que Tancredo analisar, o acréscimo de tempo na análise dos documentos será de

a)2 horas e 30 minutos.

b)2 horas e 15 minutos.

c)1 hora e 45 minutos.

d)1 hora e 30 minutos.

e)1 hora e 15 minutos.


Resposta:

Se temos N/8h e N = 10 documentos, então montamos a regra de 3:

10/8h = x/60min. 8x = 600

x = 600/8

x = 300/4

x = 150/2

x = 75minutos

x = 1hora e 15minutos

letra e).

O preço do computador

Percentagem

(FCC)Na compra de um computador, um Técnico recebeu um desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a

a)2 000.

b)2 050.

c)2 100.

d)2 105.

e)2 110.


Resposta


Preço do computador : M

Valor pago com 10% de desconto: M - 0,1

M = 0,9M

Entrada com 10% de prejuízo: 0,9M - 0,1 . 0,9M = 0,81M

Logo: 0,81M + 3 . 250 = 2370

0,81M = 1620

M = 2000

letra a).

Calculando g(x)

Função Composta
Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e f(g(x))= 2x + 9,o valor de g(x) é:
a)x - 3
b)x - 2
c)x - 1
d)x + 2
e)x + 4


Resposta:

f(g(x)) = 2.g(x) + 1 ---> (I)
f(g(x))= 2x + 9----> (II)
fazendo (I) igual a (II),vem:
2.g(x) + 1 = 2x + 9
2.g(x) + 1 = 2x + 9
2.g(x)= 2x + 8
g(x) = (2x + 8) / 2

g(x) = x + 4
letra e).

Recebendo comissão sucessiva

Percentagem
O balconista de uma grande loja recebe sua comissão conforme o valor mensal de sua venda, que vai se encaixando sucessivamente nas faixas de venda, como indicado no quadro abaixo:
Faixas de venda (R$)<---------> % de comissão
Até 1.000,00 <---------> 6%
De 1.000,01 a 2.000,00<---------> 9%
Acima de 2.000,00<---------------> 12%
A balconista Manoela estava eufórica porque, no mês de Natal, vendeu um total de R$ 8.600,00, recebendo, portanto, de comissão:
a)601,00
b)754,00
c)876,00
d)942,00
e)1.103,00


Resposta:

Até 1.000,00---> 6% --> 1000.6/100 = 60
De 1.000,01 a 2.000,00---> 9% --> 1000.9/100 = 90
Acima de 2.000,00-----> 12% --> (8600-2000).12/100
6.600 . 12/10 = 792,daí vem:
60 + 90 + 792 = 942
letra d).

A compra da mesa de sinuca

Sistema de Equações
Uma mesa de sinuca de R$ 360,00 devia ser comprada por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como quatro deles desistiram, a cota de cada um dos outros ficou aumentada de R$ 15,00. Por causa da desistência ,quantos rapazes ficaram?
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12


Resposta:

R----->número de rapazes
V----->valor que cada um vai contribuir
[RV = 360, ------>R = 360/V. (I)
[(R-4).(V+15) = 360,-------> RV + 15R - 4V - 60 = 360. (II).

substituindo (I)em (II),vem:
(360/V).V + 15(360/V) - 4V = 360 + 60
360 + 5.400/V - 4V = 420
5.400/V - 4V = 420 - 360
5.400/V - 4V = 60 -------> mmc = V
5.400 - 4V² = 60V
-4V² - 60V - 5.400 = 0
V² + 15V - 1.350 = 0
V' = 30
V'' = -45 (despreza-se por ser negativo)
R = 360/30
R = 12
logo R - 4 = 8
letra a).

O concurso de tiro ao alvo

Sistema de Equações do 1ºGrau
Em um concurso de tiro ao prato, cada disparo certo dava 6 pontos e cada disparo errado tirava 2 pontos.Um atirador em 22 tiros fez 84 pontos.O número de pratos que ele quebrou,foi:
a)menor que 8
b)maior que 18
c)o dobro do que não quebrou
d)o triplo do que não quebrou menos 2
e)13

Resposta:

c---->acertou,logo quebrou
e---->errou,logo não quebrou
[c + e = 22-------->c = 22 - e
[6c - 2e = 84------>c = (84 + 2e) / 6
-----------------
22 - e = (84 + 2e) / 6
132 - 6e = 84 + 2e
8e = 48
e = 6
daí vem:
c = 22 - e
c = 22 - 6
c = 16
então: 3 . 6 - 2 = 16
letra d).

Problema das idades

Sistema de Equações
Quando Rebeca nasceu, Sofia tinha 3 anos. Daqui dois anos, o produto das suas idades será 70.Qual a idade de Sofia daqui há dois anos?

Resposta:

s--->Sofia
r --->Rebeca
s = r + 3
s . r = 70
logo:
(r + 3) .r = 70
r² + 3r - 70 = 0
r = (-3 + 17) / 2
r' = 14/2
r' = 7
logo ,hoje Rebeca tem 7 - 2 = 5 anos;
daqui a dois ela terá 7 anos e
Sofia 10 anos.

Operando com medida de ângulo

Medida de Ângulo

Quanto vale 3/5 da medida de um ângulo de 64º?


Resposta:


3x 64 = 192

logo: 192 / 5 = 38,4º

Total de visitantes

Equação do 1º Grau Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas ...