Quantidade de múltiplos

Progressão
A quantidade de múltiplos de 4 entre os números 550 e 3450, é:
a)325
b)455
c)525
d)655
e)725

Resposta:

P.A (552, 556, ...., 3448)

an = a1 + (n - 1).r
3448 = 552 + (n - 1).4
552 + 4n - 4 = 3448
4n = 3448 - 552 + 4
4n = 2900
n = 725
letra e).




Propriedade do quadrado perfeito

Polinômios
Se o polinômio 3x² - 12x + k é um quadrado perfeito então k é um número:
a)ímpar
b)primo
c)divisível por 7
d)divisível por 5
e)divisível por 2

Resposta:

um trinômio quadrado perfeito é da forma:

a² + 2ab + b²
pela propriedade do trinômio quadrado perfeito,temos:
2ab = 2 .√(a².b²),daí em: 

3x² - 12x + k, temos:
12 = 2 . √(3.k)
6 = √(3k)
(√3k)² = 6²
3k = 36
k = 12
letra e).

Calculando a idade atual

Sistema de Equações
O quadrado da idade de Douglas menos a idade que ele tinha 5 anos atrás é igual 1727. A idade atual de Douglas, está entre:
a)0 e 9
b)10 e 19
c)20 e 29
d)30 e 39
e)40 e 49

Resposta:

 idade atual de Douglas ==> D
idade que Douglas tinha há 5 anos ==>de (D - 5)

D² - (D - 5) = 1.727 
D² - D + 5 = 1.727 
D² - D + 5 - 1.727 = 0
D² - D - 1.722 = 0 ,logo vem:
D' = - 41 (não serve)
D'' = 42
D = 42 anos 
42 anos está no intervalo de 40 e 49
letra e).

Soma de raízes opostas

Equação Biquadrada
Pedro e Zeca apostaram que acertariam o resultado da soma das raízes da equação 2x⁴ - 5x² -3 = 0. Sabendo-se que Zeca acertou, pode-se concluir que sua resposta foi:
a) –3
b) –2
c) –0,5
d)0
e)1

Resposta:

2x⁴ - 5x² - 3 = 0

fazendo x² = y,vem:
2y² - 5y -3 = 0,onde:


y'  = 3,e
y'' = -0,5
x² = y'
x² = 3
x = ± √3
x' = √3
x''= -√3
x² = y''
x² = -0,5
x = ± √-0,5( não serve no campo dos reais) ,logo como as raízes são opostas ,a soma delas é zero
letra d).

Preparando o sistema

Sistema de Equações
 A solução do sistema


[x / 4 + y / 5 = 2
[(2x +1 ) / 3 - ( y - 3 ) / 2 = 2,é:

a) (5,3)
b) (9,10)
c) (2,4)
d) (6,7)
e) (4,5)

Resposta:

Preparando o sistema:
1ªequação fica :20x/4 + 20y/5 = 40

5x + 4y = 40


2ªequação fica: 2(2x + 1) - 3(y - 3) = 12,logo vem:


4x + 2 - 3y + 9 = 12


4x  - 3y = 12 - 2 - 9
4x - 3y = 1,assim o sistema ficará:
[5x + 4y = 40
[4x - 3y = 1
isolando x na 2ª equação,temos:
x = (1+3y) / 4
substituindo na 1ªequação, vem:


5[(1+3y) /4] + 4y = 40
(5 + 15y) / 4 + 4y = 40
5+15y + 16y = 160
15y + 16y = 160 - 5
31y = 155
y = 5, logo:
x = (1+3.5) / 4
x =  (1+15) / 4
x = 16 / 4
x = 4
letra e).

Achando a soma

Progressão Aritmética
(Unitau-SP) A soma dos números impares de 1 a 51 é:

a)676
b)663
c)1326
d)1352
e)446

Resposta:

P.A = ( 1,3,5, ... , 51)
r = 2

51 = 1 + (n - 1). 2
n - 1 = 50 / 2
n = 26,logo a soma fica:
Sn = (1 + 51 ).26 / 2
Sn = 676
letra a).

Transformando em fracionários

Números decimais
O quociente de -1,2 por + 0,6, o produto entre -0,6 e -1,2 e o cubo de -1,5, são respectivamente:
a) -2, + 0,72, - 3,375
b) +2, -0,72, - 1/15
c) -2, + 0,72, -1/125
d)+2, - 0,72, + 1/125
e)+2, - 0,72, - 3,375

Resposta:

transformando em números fracionários,vem:

1,2 = 12/10
0,6 = 6/10
1,5 = 15/10.daí temos:
-12/10 : 6/10 = -12/10 . 10/6 = -120/60 = -2
-6/10 . -12/10 = 72/100 = 0,72 
(-15/10)³ = -15³/10³ = -3375/1000 = - 3,375
letra a).

Operando com números decimais

Expressão Numérica
O resultado da expressão (0,3) . (0,7) - 5. (0,02) / (0,5) .  (0,2) é:

a) 0,11
b) 11
c) 0,1
d) 1,1
e)1.01

Resposta:

( 0,21 - 0,1 ) / 0,1 =
0,11 / 0,1
11 / 10 = 1,1
letra d).

Módulos das raízes

Polinômios
Considerando o polinômio de 3º grau t³- 4t² + t + 6 , é correto afirmar que a soma dos módulos das raízes desse polinômio é:
a)6
b)5
c)4
d)3
e)2

Resposta:

t³ - 4t² + t + 6 = (t - 3).(t² - t - 2),logo vem:
t - 3 = 0
t = 3
t² - t - 2 = 0,fica:
t' = 2
e t'' = -1
soma dos módulos: 3 + 2 + 1 = 6
letra a).

Múltiplos de 4 e 5

Progressão
Entre os números 550 e 3450, quantos são os múltiplos de 4 e 5 ao mesmo tempo?
a)105
b)125
c)135
d)145
e)155

Resposta:

Múltiplos de 4 e 5 ao mesmo tempo. Ou seja, múltiplos de 20.



PA (560, 580, ..., 3440)
an = a1 + (n - 1).r
3440 = 560 + (n - 1).20
3440 = 560 + 20n - 20
20n = 3440 - 560 + 20
20n = 2900
n = 145
letra d).

A rodovia e o pedágio

Progressão
Uma concessionária de pedágio instalou em uma rodovia postos de atendimento a cada 26 km. Sabendo que há um posto no quilômetro 108, qual o número de postos entre os quilômetros 150 e 350?
a)40
b)32
c)24
d)16
e)8

Resposta:

O primeiro posto está no km 160

último posto está no km 342,logo temos:
P.A ( 160, 186, 212..., 342)
a1 = 160
an = 342
n = ?
r = 26


an = a1 + (n - 1) . r
342 = 160 + (n - 1) . 26
342 = 160 + 26n - 26
342 = 26n + 134
342 - 134 = 26n
26n = 208
n = 208 / 26
n = 8
letra e).

Número máximo de emissoras

Progressão Aritmética
Em cada região especificada pela Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel), as frequências das emissoras de rádio FM devem variar de 87,9 a 107,9 MHz, e a diferença entre duas frequências consecutivas deve ser 0,2 MHz. O número máximo de emissoras FM que podem funcionar em uma mesma região de acordo com a Anatel é:
a) 99
b) 100
c) 101
d) 102
e) 103

Resposta:


an = 107,9
a1 = 87,9
r = 0,2
n = ?


an = a1 + ( n - 1).r
107,9 = 87,9 + ( n -1 ).0,2
107,9 - 87,9 = ( n -1 ). 0,2
20 = ( n -1 ) . 0,2
n - 1 = 20 / 0,2
n - 1 = 100
n = 100 + 1
n = 101
letra c).

Operando com fatorial

Fatorial
Simplificando a expressão (5! / 3!) + 2!,encontramos:
a) 18
b)19
c)20
d)21
e)22

Resposta:

(5 . 4 . 3! / 3!) + 2! =
20 + 2 . 1
20 + 2 =
22
letra e).


 














Arestas do paralelepípedo

Geometria Plana
Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com arestas medindo 5cm e 4cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo de arestas 3cm, 7cm, e xcm. O valor de x é:
a) 9cm
b) 14cm
c) 19cm
d) 11cm
e) 13cm 

Resposta:


 Volume do primeiro cubo: 5 x 5 x5  = 125 cm³

volume do segundo cubo: 4 x 4 x 4 = 64 cm³
soma dos dois volumes: 125 + 64 = 189 cm³
o paralelepipedo tem 189cm³ de volume, entao:
3 . 7 . x = 189
21x = 189
x = 189 / 21
x = 9 cm

letra a).

Medida dos lados do paralelogramo

Geometria Plana
Num parelogramo o perímetro mede 84cm e o lado menor representa dois quintos do lado maior.A medida do lado menor é:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

Resposta:

O perímetro é a soma dos 4 lados do paralelogramo,então temos:
lado menor===>a
lado maior===>b
a + a + b + b = 84
2a + 2b = 84
a = 2/5 de b
5a = 2b
2a + 5a = 84
7a = 84
a = 12 cm
letra e).

Igualdade entre a razão e o primeiro termo

Progressão Aritmética
Numa P.A, o termo a11 é igual à -55 e o primeiro termo é igual à  razão.Nesta condições o termo a1,é:
a)8
b)7
c)6
d)-5
e)-6

Resposta:


an = a1 + r(n - 1)
an = a11 = -55
n = 11
-55 = r + r(11 - 1)
-55 = r + 10r
-55 = 11r
r = -55 / 11
r  = -5
r = a1 = -5
letra d).

Operação com polinômios

Polinômios
Dados os polinômios A(x) = 2x² - 6x + 1, B(x) = x² + 2 e C(x) = x - 1, então o quociente da divisão de (A + B ) por  C,é:
a)x + 1
b)2x + 1
c)3(x - 1)
d)3(x + 1)
e)3x + 3

Resposta:


A + B==>
2x² - 6x + 1 + x² + 2
= 3x² - 6x + 3
o polinômio 3x² - 6x + 3 pode ser escrito por 3(x - 1)(x - 1),logo vem:
3(x - 1)(x - 1) / (x - 1)==>
= 3(x - 1)
letra c).

Taxa percentual de lucro

Percentagem
Um comerciante adquiriu 120 Kg de certa mercadoria à razão de R$ 2,40. Obteve um desconto de 1% e teve uma despesa de transporte de R$ 18,80. Revendendo a mercadoria a R$ 3,00 o quilograma. O inteiro mais próximo da  taxa percentual de lucro,que se obtém por arredondamento,é:
a)19%
b)18%
c)17%
d)16%
e)15%

Resposta:


120 x 2,40 = 288 reais
1% de 288 = 2,88,logo vem:
288 - 2,88 = 285,12
285,12 + 18,80 = 303,92 ==>valor de custo para ele
mas,120 kg a R$3,00 cada kg, ele apura 360 reais, daí temos: 360 - 303,92 = 56,08==>Esse é o lucro,assim para achar o percentual,temos:


se 303,92 ----------100%


     56,08 ----------- x


303,92x = 5608
x = 5608 / 303,92
x é aproximadamente 18,5% ou 19%
letra a).  




Desconto no preço à vista

Percentagem
Uma bicicleta custa R$450,00 vou pagar á vista e tive um desconto de 8%. Qual o valor,em Reais, que vou pagar?
a)114
b)144
c)336
d)414
e)442

Resposta:

450 x 8 / 100 = 36
450 - 36 = 414
letra d).







Operando com frações

Fração
A estrada que liga Recife a Caruaru será recuperada em três etapas.Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Uma fração que corresponde à terceira etapa é:
a) 1/5
b) 5/12
c) 7/12
d) 12/7
e)1/3

Resposta:


1/6 + 1/4 = 5/ 12 ,logo:
12 / 12 - 5 / 12 = 7 / 12
letra c).

Aplicando as propriedades

Determinante
 (UFRS) Se .
[1 2 3]
[6 9 12] = 12, então
[x y z]






[x y z]
[2 3 4] :
[1 2 3],vale:

a) -4
b) - 4/3
c) 4/3
d) 4
e) 12
 
Resposta:
 
A segunda linha da segunda matriz foi dividia por 3 ( 6/3 = 2, 9/3 = 3 e 12/3 = 4). Isso não altera o valor do determinante, porém ele ficaria divido por 3. Mas como a terceira linha foi permutada com a primeira, isso inverte o sinal do determinante .
O resultado será  -[12/3]  = -4
letra a).

Operação com matrizes

Determinante
(FGV-SP) Considere as matrizes:?
A =


[2 -1]


[0 7] , e


B =


[2 -2]


[1 4]
o determinante da matriz A . B vale:


a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
e) 140
 
Resposta:
 
A . B = (2 x 2) + [(-1) x 1] [2 x (-2) + [(-1 x 4]
(0 x 2) + (7 x 1) [(0 x (-2)] + (7 x 4).
A . B =
[ 3 -8]
[7 28]
cujo determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o  produto dos elementos da diagonal secundária,logo vem:
Det. = (3 x 28) - [(-8) x 7)
Det = 84 + 56
Det = 140
letra e).

As parcelas e o valor do produto

Equação do 1ºGrau
Qual o valor,em reais, do produto que Marcos comprou, se fez nas seguintes condições de pagamento:
1ª parcela : 2/5 do total
2ª parcela : do restante pagou 1/3
3ª parcela :pagou R$70,00.
a)35
b)40
c)55
d)125
e)175

Resposta:

x-----valor total
2/5 do total é 2x/5
o restante é x - 2x/5 = 3x/5
1/3 do restante é ------ (1/3)(3x/5),logo vem:
x = 2x/5 + (1/3)(3x/5) + 70
x = 2x/5 + 3x/15 + 70
x = 2x/5 + x/5 + 70
x = 3x/5 + 70
5x = 3x + 350
5x - 3x = 350
2x = 350
x = 350/2
x = 175
letra e).

O taxista e a bandeirada

Função do 1º Grau
Um taxista cobra sua corrida da seguinte maneira: R$ 4,60 a bandeirada a qualquer hora do dia, mais R$ 3,20 o quilômetro rodado. A função que representa quanto Ruan pagará ao taxista se a distância do
aeroporto até o hotel for de 15 km.é:
a)f(52,6) = 4,60 + 3,20x
b)f(x) = 52,6 + 4,60x
c)f(3,20) = 4,60 + 15x
d)f(15) = 4,60 + 3,20.15
e)f(x) = 4.60 + 15.3,20x

Resposta:


f(x) = 4,60 + 3,20x, em que "x" é a quantidade de quilômetros rodados:
daí vem:
f(15) = 4,60 + 3,20 .15
f(15) = 4,60 + 48
f(15) = 52,60
Ruan pagará R$ 52,60
letra d).

O salário de Mara

Função do 1º Grau
Mara é uma vendedora de livros que ganha R$ 550,00 de salário fixo mensal, mais uma comissão de 8% do valor de cada livro vendido. A função que representa o salário dela, num mês que vendeu R$ 1.400,00 de livros,é: 
a)f(x) = 1400x + 8/100
b)f(8%) = 550 + x
c)f(662) = 1400 + 0,08.x
d)f(1400) = 550 + 0,08.x
e)f(550) = 550 + 8% . 1400.x

Resposta:

f(x) = 550 + 0,08x, em que:
 "x" é o valor de livros vendidos
 0,08 é o mesmo que 8 / 100.logo em: 
 f(x) = 550 + 0,08x
substituimos "x" por 1.400, e  teremos:
f(1.400) = 550 + 0,08 . 1.400
f(1.400) = 550 + 112
f(1.400) = 662
isso indica que o salário de Mara, naquele  mês, foi de R$ 662,00
letra d). 

Resolvendo exponencial

Equação Exponencial
O valor de x na equação 2^(x+1) + 2^x - 2^(x-2) = 88,é:
a)zero
b)2
c)3
d)4
e)5

Resposta:

pondo 2^x em evidência ,temos:
2^x ( 2 + 1 - 1 / 4 ) = 88

2^x ( 3 - 1 / 4) = 88
2^x (11 / 4) = 88
2^x = 88.4 / 11
2^x = 32
2^x = 2^5
x = 5
letra e).

Fatorando polinômios

Polinômios
O polinômio x² - 2ax + a² + x - a fatorado, apresenta dois fatores lineares. A soma desses fatores é igual a?
a)-2x -2a -1
b)-2x + 2a -1
c)-2x - 2a + 1
d)2x + 2a + 1
e)2x - 2a + 1

Resposta:

x² - 2ax + a² + x - a

(x² - 2ax + a²) + (x - a)
(x - a)² + (x - a)
pondo (x - a) em evidência,temos:
(x - a)[(x - a) +1], que é a sua forma fatorada,logo vem:
(x - a) e (x - a + 1) como os fatores,assim:
x - a + x - a + 1 =
2x - 2a +1
letra e).


Valor da quantia aplicada

Juros Simples
Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1920,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada ?
a)R$36.000,00
b)R$35.000,00
c)R$34.000,00
d)R$33.000,00
e)R$32.000,00

Resposta

J = R$1.920,00


i = 3%a.m
n = 2 meses
J = C.i.n / 100
1920 = C.3.2 / 100
6C = 192000
C = R$ 32.000,00
letra e).

Expoente negativo

Potenciação
O valor de y = (-2)-²,pode ser representado por:
a) - 1 / 4
b) - 0,25
c) 2 . (10)-²
d)2,5 . (10)-²
e)25 . (10)-²

Resposta:

(-2)-² = y

(-1/2)² = y
1 / 4 = y
1 / 4 = 1 . 25 / 4 . 25
1 / 4 = 25 / 100
1 / 4 = 25 / 10²
1 / 4 = 25 . (10)-² 
letra e).

Número de rapazes na turma

Problema Envolvendo Fração
Na turma A, a razão entre rapazes e meninas é de 3/4. Na turma B, essa razão é de 5/6. Se o número de alunas for o mesmo nas duas turmas, qual delas terá mais rapazes?

Resposta

3  /4 = 9/12



5 / 6 = 10 / 12


na classe A, tem 9 rapazes para cada 12 meninas
na classe B,tem 10 rapazes  para 12 meninas.
turma B.



Percentual de desconto

Regra De Três
Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, obtive um desconto de 20% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 600,00 pela mercadoria, o preço original era:
a)a terça parte do dobro do que paguei
b)o dobro da terça parte do que paguei
c)a oitava parte do quíntuplo do que paguei
d)R$800,00
e)o quíntuplo da quarta parte do que paguei

Resposta:

600 ------ 80%

x --------- 100%,então:


80x = 60000
x = 60000 / 80
x = 6000 / 8
x = 3000 / 4
x = 1500 / 2
x = 750,assim:
o preço original era 750 reais,que corresponde a:
5 . (600) / 4
letra e).

Soma do maior com o menor

Fatoração A soma do maior com o menor divisor primo de 70, é um número: a) par b) divisivel por 5 c) quadrado perfeito d)múltiplo d...