Igualdade de montantes

Juros Simples
Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000 à taxa de juros simples de 4% ao mês. Quantos meses depois da primeira aplicação o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa será igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa.
a)26
b)24
c)23
d)22
e)15

Resposta:
 
J = c . i . t
no 1º caso temos:
J = 10.000 . 0,02 . t
J = 200 . t
no 2º caso temos:
J = c . i . t
J = 8.000 . 0,04 . (t - 2)
J = 320 . (t - 2)
para que os montantes sejam iguais,vem:
M1 = M2,logo:
M1 = J + c
M1 = (200 . t) + 10.000,mas:
M2 = 320 . (t - 2) + 8.000,assim temos:
(200 . t) + 10.000 = 320 . (t - 2) + 8.000
200t + 10.000 = 320t - 640 + 8000 
200t + 10.000 = 320t + 7360
10.000 - 7360 = 320t - 200t
2640 = 120t
t = 22 meses
letra d).

Termos da razão

Razão
Se 4a = 9b, então a razão b / 2a,vale:
a)2 / 3
b)5 / 9
c)4 / 9
d)1 / 3
e)2 / 9

Resposta:

4a = 9b
b = 4a / 9

b / 2a = (4a / 9) / 2a

b / 2a  = 2 / 9
letra e).

Perímetro do triângulo semelhante

Geometria Plana
Um triângulo tem lados medindo 21 m, 28 m e 35 m. Num triângulo semelhante a esse, o maior lado mede 630 m. O  perímetro desse triângulo,é:
a)1112m
b)1212m
c)1312m
d)1412m
e)1512m

Resposta:


o lado maior mede 35m, que no caso é representado no outro triângulo por 630m,
logo vem: 630/35 = 18,assim temos:
21x 18= 378m
28 x 18 = 504m
35 x 18 = 630m
2p = 378 + 504+ 630
2p = 1512m
letra e).

Igualdade entre razões

Proporção
As razões a / 2, b  /3 e c  /4 são iguais. Se a + c = 108,  o valor de b,é:
a)14
b)24
c)34
d)44
e)54

Resposta:

a / 2 = y   => a = 2y
b / 3 = y   => b= 3y
c / 4 = y   => c=4y
a + c = 6y
108 = 6y
y = 108 / 6 

y = 18
b = 3y

b = 3.18
b = 54
letra e).

O padrão da sequência

Raciocínio Lógico
Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...) .
O décimo termo dessa sequência é
a)1537
b)1929
c)1945
d)2047
e)2319

Resposta:

o padrão que essa sequência segue é que cada termo, a partir do primeiro, é o dobro do anterior mais um,logo vem:
1º)3

2º)2. 3 + 1 = 7
3º)2.7 + 1= 15
4º)2. 15 + 1 = 31
5º)2.31 + 1 = 63
6º)2. 63 + 1 = 127
7º)2.127 + 1 = 255
8º)2. 255 + 1 = 511
9º)2.511 + 1 = 1023
10º)2.1023 + 1 = 2047 
letra d).

A quantidade de arame

Geometria Plana
Para cercar com duas voltas uma horta comunitária que tem a forma retangular e mede 50m de frente por 80m de fundos, são necessários quantos metros de arame?
a)260m
b)280m
c)360m
d)420m
e)520m

Resposta:

vamos chamar a = 50 e b = 80 ,logo vem:
2p(perímetro da horta) = 2a + 2b,assim temos:
2p = 2.50m + 2.80m
2p  = 100 + 160
2p = 260 metros
se 1 volta----------260m
     2 voltas---------x
x = 2 . 260
x = 520 m
letra e).




O número em questão

Equação do 1º Grau
Um terço de um número somado aos seus cinco sextos é igual a 21. O número em questão é?
a)14
b)15
c)16
d)17
e)18

Resposta:

o número = x

um terço dele = x / 3
cinco sextos dele = 5x / 6,logo vem:
 x / 3 + 5x / 6 = 21
mmc(3,6) = 6
2x / 6 + 5x / 6 = 21 . 6
2x + 5x = 21.6
7x = 126
x = 126/7
x = 18
letra e).

Achando o termo desconhecido

Polinômios
(UNIRIO-2003) Considere a equação x³ + 4x² - 5x + k = 0. Qual é o valor de k para que se tenha x = 2 como raiz desta equação?
a)5
b)7
c)-10
d)-13
e)-14

Resposta:

se 2 é raiz,então vem:
x³ + 4x² - 5x + k = 0

2³ + 4 . (2)² - 5 . 2 + k = 0
8 + 16 - 10 + k = 0
14 + k = 0
k = -14
letra e).

O leite em pó em lata

Regra de Três
Considere que 25 g de leite em pó diluídos em água, produzem 200 ml de leite reconstituído. Quantas latas de leite em pó de 400 g serão necessárias para reconstituir 48 litros de leite?
a)11
b)12
c)13
d)14
e)15

Resposta:

temos que 1litro tem 1000ml,logo vem:
25g ------------- 200 ml

x----------------- 48000 ml,assim:
as grandezas são diretamente proporcionais,daí:
25 / x = 200 / 48000,logo:
25 / x =  1 / 240
x = 25 . 240
x = 6000 g,desta forma temos:
1 lata------------400g
x latas-----------6000g
400x = 6000
x = 6000 / 400
x = 60 / 4
x  = 15
letra e).

O criador de peixe

Regra de Três
Um criador de peixe tem ração suficiente para alimentar 20 peixes durante 16 dias. Após 3 dias, comprou mais 6 peixes. Quantos dias durará a ração se o consumo não for diminuído?
a)6
b)7
c)8
d)9
e)10

Resposta:

20 peixes--------- 13d

26 peixes----------- x


nota-se que as grandezas peixes e dias,são inversamente proporcionais,logo vem:
26 peixes--------13 d
20 peixes--------- x

13 / x = 26 / 20,assim:
13 / x = 13 / 10
13x = 130
x = 10
letra e).



Os dias dirigindo

Regra de Três
Um motorista percorre 200 km em 2 dias , dirigindo 4 horas por dia.Para ele percorrer 500 km dirigindo 5 horas por dia, quantos dias ele levara ?
a)7
b)6
c)5
d)4
e)3

Resposta:

200km------------2dias-------------4h
500km------------xdias-------------5h
nota-se que dias e horas,são inversamente proporcionais,logo vem:
2 / x = 200 / 500 . 5 / 4,daí:
2 / x = 2 / 5 . 5 / 4
2 / x = 1 / 2
x = 4
letra d).

O produto dos números

Progressão Aritmética
A soma de cinco números, reais e inteiros, em progressão aritmética,crescente, é 25 e o produto, -880. O quinto termo dessa P.A,é:
a)-11
b)9
c)10
d)11
e)12

Resposta:



primeiro termo: x - 2r
segundo termo: x - r
terceiro termo: x
quarto termo: x + r
quinto termo: x + 2r,logo:
(x-2r) + (x-r) + (x) + (x+r) + (x+2r) = 25
5x = 25
x = 5,mas:
(x-2r)  . (x-r)  . (x) . (x+r) . (x+2r) = -880
se x = 5,temos:
(5-2r).(5-r).5*(5+r).(5+2r) = -880
(5-2r).(5-r).(5+r).(5+2r) = -880/5
(5-2r).(5+2r).(5-r).(5+r) = -176
sabendo que (a+b)(a-b) = a² - b²,então vem:
(25-4r²)(25-r²) = -176
25.25 -25r²-100r²+4r^4 = -176
625 - 125r² + 4r^4 = -176
4r^4 - 125r² + 801 = 0
fazendo r² = y,temos:
4y² - 125y + 801 = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = (-125)²-4.(4).(801)
∆ = 15625-12816
∆ = 2809
y' = (125+53)/8 = 22,25(não serve,pois não é inteiro)
y'' = (125-53)/8 = 9
r'' = x²
x² = 9
x = ±√9
x' = 3 ou x'' = -3
Primeiro : x - 2r = 5-2.3 = -1
Segundo : x - r = 5-3 = 2
Terceiro : x = 5
Quarto : x + r = 5+3 = 8
Quinto : x + 2r =5+2.3 = 11
letra d).


As quatro operações

Problema Envolvendo As Quatro Operações
Se a/5 = b/7 = c/3,quanto vale 8a - 12b + 2c,sabendo que a + b + c = 45?
a)441
b)414
c)144
d)-114
e)-141

Resposta:

a/5 = b/7 = c/3 = k. Portanto:

a = 5k, b = 7k e c = 3k.
a + b + c = 45
5k + 7k + 3k = 45
15k = 45
k = 3. Logo a = 5 . 3 = 15, b = 7 .3 = 21 e c = 3 . 3 = 9.
8.15 - 12.21 + 2.9 = 120 - 252 + 18 = - 114
letra d).

Medida da área livre

Geometria Plana
Um terreno mede 10,50m de largura e 35,50m de comprimento. Será construída uma obra de 8,00m de largura e 15,00m de comprimento. A área livre será?
a)552,75m²
b)452,75m²
c)352,75m²
d)252,75m²
e)152,75m²

Resposta:

Área total do terreno:

A = (10,50).(35,50) = 372,75 m²


Área da obra:
S = (8,0).(15) = 120 m²

Área livre:(Al)
Al = A - S = 252,75 m²
letra d).

A sobra dos blocos

Problema Envolvendo Subtração
Em um escritório, há 3 caixas, cada uma contendo 5 blocos para anotações. Se 6 blocos forem utilizados, quantos blocos sobrarão?
a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

Resposta:

3 caixas tem 5 blocos cada, logo:
3 . 5 = 15 blocos
15 - 6 = 9 blocos
letra e).

A falta de segurança

Percentagem
Numa pesquisa realizada com turistas que visitaram o Rio,um em cada quatro entrevistados elogiou a beleza do Rio e 40% dos entrevistados condenaram a falta de segurança. Se a beleza da cidade foi elogiada por 150 pessoas,dentre as pessoas entrevistadas, quantas condenaram a falta de segurança?
a)240
b)300
c)350
d)400
e)500

Resposta:

 1 /4 = 0,25,mas: 

0,25  =  25%,logo vem:


25% ---------------150


40% -----------------x


25 . x = 150 . 40
25x = 6000
x = 6000 : 25 
x = 240
letra a).

Achando a densidade

Medidas
Uma aliança de 3,6 g foi confeccionada a partir de uma liga metálica composta de 75% de ouro e 25% de cobre. Sabe-se que a densidade do ouro é aproximadamente 19,2 g/cm³ e a densidade do cobre é cerca de 9,0g/cm³. Sendo assim, pode-se dizer que a densidade da liga metálica utilizada para confeccionar essa aliança é de:
a)10,5 g/cm³
b)13,1 g/cm³
c)14,0 g/cm³
d)14,6 g/cm³
e)15,0 g/cm³

Resposta:

Fórmula de densidade:
d = m / V


M(ouro) = 3,6 . 0,75 = 2,7g 


M(cobre) = 3,6 . 0,25 = 0,9g 
d(ouro) = m(ouro) / V(ouro) e d(cobre) = m(cobre) / V(cobre)


19,2 = 2,7 / V(ouro)
V(ouro) = 0,14cm³, e
9 = 0,9 / V(cobre)
V(cobre) = 0,1cm³


V(liga) = 0,24
d(liga) = m(liga) / V(liga)
d(liga) = 3,6 / 0,24
d(liga) = 15g/cm³
letra e).

Valor do arco duplo

Trigonometria
Sendo tg 3x = -1, então sen2x vale?

a) -1 ou √2/2
b) -1 ou -√2/2
c) 1 ou -√2/2
d) 1 ou √2/2
e) 1 ou - 1/2
 
Resposta:
 
A tangente é igual a (-1) nos arcos de 135º ou de 315º,daí vem:
3x = 135º
x = 135º/3
x = 45º
ou
3x = 315º
x = 315/3
x = 105º,então:
2x = 2 .45º
2x = 90º
ou
2x = 2.105º
2x = 210º,logo:
sen90º = 1
ou
sen210º = -1/2
letra e).

logarítmo envolvendo P.A

Logaritmos
O valor de x  na equação logx + logx² + logx³ + ... + logx¹⁰⁰ = 10.100,é:
a)0.01
b)0,1
c)10
d)100
e)1000

Resposta:

logx + logx² + logx³ + ... + logx¹⁰⁰ = 10.100

logx + 2logx + 3logx+...+100logx = 10.100
logx(1+2+3+...+100) = 10.100
entre parênteses temos uma soma finita de uma  P.A,logo vem: 
a1= 1
a2=2
r = a2 - a1
r = 1
an =100
n = ?
Sn = ?
an = a1+ (n-1)r
100 = 1+ (n-1).1
n = 100,mas:
Sn = (a1 + an).n / 2
Sn = (1+100).100/2
Sn  = 5050,assim conclui-se que:
logx(1+2+3+...+100) =10.100
logx(5050) =10.100
logx =10.100/5050
logx = 2
x =10²
x =100
letra d).

Divisão de polinômios

Polinômios
Se P(x) = 3x³ - cx² + 4x +2c é divisivel por x+1, então:
a) c = -1/3
b) c = 1/3
c) c = 39
d) c = -7
e) c = 7

Resposta:

se P(x) é divisivel por x + 1,então -1 é soluçao,pois x + 1 = 0 ,implica que  x = -1,daí vem:

P(-1): 3(-1)³ - c(-1)² + 4(-1) + 2c = 0
-3 - c - 4+ 2c = 0
 c = 7
letra e).

Achando o termo desconhecido

Inequação
Na expressão 3(6x - 3) + 3(x + 1) > 3 + x ,o valor de x,é:
a)2
b)1
c)0,5
d)maior que 0,45
e)menor que -1

Resposta:

3(6x - 3) + 3(x + 1) > 3 + x

18x - 9 + 3x + 3 > 3 + x
21x - 6 > x + 3
20x - 6 > 3
20x > 9
x > 9/20
x > 0,45
letra d).

Volume do cone

Geometria Espacial
Qual o volume,aproximado, de um sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica(casquinha), sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura 10 cm?
a)90,2cm³
b)91,2cm³
c)92,2cm³
d)93,2cm³
e)94,2cm³

Resposta:

Volume(V) do cone  = 1/3 . π . r² . h

V = (1/3) . 3,14 . 3² . 10
V = 94,2 cm³
letra e).

Cilindro equilátero

Geometria Espacial
Qual é,aproximadamente, o volume de um cilindro equilátero que tem 10 cm de raio?
a)6018cm³
b)6028cm³
c)6118cm³
d)6128cm³
e)6280cm³

Resposta:

Um cilindro é equilátero quando a medida do seu diâmetro é a mesma da altura.

Se esse cilindro tem 10 cm de raio, seu diâmetro e sua altura é 20 cm,logo temos:


V = πr²h
V = 10².20.π
V = 2000π cm³
ou
V = 2000 . 3,14
V = 6280 cm³
letra e).

A quantidade de litros

Geometria Espacial
Consideremos um tanque cilíndrico com 1,6 m de diâmetro e 5 m de altura feito para armazenar azeite. Se apenas 60% do seu volume está ocupado por azeite, qual a quantidade de litros de azeite que há no tanque?
a)6018,8
b)6028,8
c)6038,8
d)6048,8
e)6058,8

Resposta:

Volume(V) do cilindro = π . r² . h
Raio = Diâmetro/2 ==> 1,6/2 = 0,8m
Altura (h) = 5m


V = π . (0,8)² . 5


V =  π.0,64.5


V = 3,2 . π


V = 3,2 . 3,14
V = 10,048m³,mas:


1m³ ------1000 litros


10,048m³ -----x litros


x = 10048 litros,daí temos para o azeite:


10048litros ----- 100%


y-------------60%


y = 6028,8 litros
letra b).


O número de mulheres

Razão
Em um academia das 200 pessoas inscritas, 160 são homens. Qual é a razão entre o número de homens e o número de mulheres?
a)2
b)4
c)20
d)40
e)50

Resposta:

H ----homens
M----mulheres
H + M = 200

160 + M = 200
M = 200 - 160
M = 40,daí:
H / M =
160 / 40 = 4
letra b).

Aumentando a equipe

Regra de Três
Uma equipe composta de 15 homens extrai , em 30 dias , 3,6 t de carvão. Se a equipe for aumentada para 20 homens , em quantos dias eles conseguirão extrair 5,6 t de carvão ?
a)15
b)20
c)25
d)30
e)35

Resposta:

15 homens ---------- 30 dias ------------ 3,6 t



20 homens ---------- x dias ------------ 5,6 t




aumentar o número de homens, vai diminuir o número de dias (inversamente proporcional).
aumentar o a quantidade de carvão, vai aumentar o número de dias (diretamente proporcional


30 / x = 20 / 15 . 3.6 / 5,6
30 / x = 72 / 84
x = 84.30 / 72
x = 2520 / 72
x = 35
letra e).

Expressão com radical

Expressão Numérica
Se A = 2,777... e B = 0,444... , o valor numérico da expressão √A - √B, é:

a)4,1 
b)3,22
c)2,333...
d)1,5
e)1,0

Resposta:

A = 2,777....= 2 + 0,777... = 2+7/9 = 25/9

B = 0,444....= 4/9
√A - √B
√(25/9) - √(4/9) =
5/3 - 2/3 =
3/3 =
1
letra e).

Expressão com potência

Expressão Numérica
Ao resolver a expressão y = (3¹² - 3¹¹ - 3¹º) / (3¹¹ + 3¹º + 3¹º),encontramos como valor de y:
a)-3
b)-2
c)-1
d)zero
e)1

Resposta:

y = (3¹² - 3¹¹ - 3¹º) / (3¹¹ + 3¹º + 3¹º)

y = 3¹º.(3² - 3¹ - 1) / 3¹º.(3¹ + 1 + 1)
y = 3¹º.(9 - 3 - 1) / 3¹º.(3 + 1 + 1)
y = 3¹º.( 5 ) / 3¹º.( 5 )
y = 1
letra e).







Achar a razão dados dois termos

Progressão Aritmética
Em uma P.A o segundo termo é 5 e o quinto termo é 14. A razão dessa progressão é:
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

Resposta:

a2 = 5

a1 + r = 5
a5 = 14
a1 + 4r = 14
o sistema fica:
[a1 + r = 5 
[a1 + 4r = 14


[-a1 - r = -5 somamos as duas
[a1 + 4r = 14
------------------
        3r = 9
r = 9  / 3
r = 3
letra a).

A quantidade de selos

Sistema de Equações
O dobro da contidade de selos que Marcos possui somado ao  quíntuplo da quantidade de selos que Renata possui é igual a 125 selos. a diferença entre a quantidade de selos que eles possuem é igual a 10 selos. A quantidade de selos dos dois junta,é:
a)40
b)35
c)25
d)15
e)10

Resposta:


m = Marcos
r = Renata


[2m + 5r = 125
[m - r = 10,logo vem: m = 10 + r
2(10 + r) + 5r = 125
20 + 2r + 5r = 125
7r = 125 - 20
r = 105 / 7
r = 15
m - r = 10
m - 15 = 10
m = 25,assim:
m + r =
25 + 15 = 40
letra a).

Obtendo um número par

Probabilidade
Jogando-se um dado, a probabilidade de se obter o número 2 ou um número par é:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
 
Resposta:
 
Um dado normal tem seis faces : 1,2,3,4,5 e 6
Temos 3 pares (2,4 e 6) num total de 6 números, ou seja, a metade.
Logo, a chance de cair 2 ou um número par é de 50% ou 0,5
letra d).

Custo dos sapatos

Máximo Divisor Comum Zeca, Peu e Biu compraram sapatos. Zeca gastou R$ 144,00 , Peu R$ 72,00 e Biu R$ 120,00.Todos os sapatos custaram o me...