O Zero da Função

Estudo da Reta
Qual é o zero da função afim cujo gráfico, que é uma reta, passa pelos pontos (2,5) e (-1, 6) ?

Resposta:

Fazendo o determinante de
[2 5 1 2 5]
[-1 6 1 -1 6]
[x y 1 x y]
igual a zero ,achamos a equação procurada,logo:
12 + 5x - y - (6x + 2y - 5) = 0
12 + 5x - y - 6x - 2y + 5 = 0
-x - 3y + 17 = 0
-3y = x - 17
3y = -x + 17
y = -x/3 + 17/3------>equação procurada
para y = 0,temos:
-x/3 + 17/3 = 0
-x + 17 = 0
-x = -17
x = 17--->que é o zero da função.

Baixa Temperatura

Termometria
Transforme:
a) 0 °F em °C

b) -30 °C em °F

Resposta:

a) TC / 5 = TF - 32 / 9
TC / 5 = 0 - 32 / 99
TC = -160
TC = - 17,8 ºC

b) TC / 5 = TF - 32 / 9
-30 / 5 = TF - 32 / 9
-6 . 9 = TF - 32
-54 + 32 = TF
TF = - 22ºF

O Quilômetro e o Metro

Geometria Plana

Uma área de 0,2 km² é igual á área de um retângulo com lados de :

a) 20 m e 100 m

b) 20 m e 1 000 m

c) 200 m e 100 m

d) 2000 m e 1 000 m

e) 200 m e 1000 m

Resposta:

0,2 km² = 200000 m² = 200 . 1000====>letra e)

5 km de Asfalto

Problema Envolvendo Fração

A rua onde Rebeca mora tem 5 km de comprimento e 20 m de largura. Sabendo-se que 4/5 dessa rua já estão asfaltados, quantos metros quadrados tem a área que falta para ser asfaltada?

Resposta:

5 km = 5000 m
S = c x l=====> S = 5000 x 20
S = 100000 m²
5 / 5 - 4 / 5 = 1 / 5
1 / 5 x 1000000= 20000 m² é a área que falta asfaltar.

Capital e Rendimento


Juros

Qual o Capital aplicado durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% a.a para se obter um Rendimento (juros) de R$ 3.240,00?


Resposta:


j = C.i t

j = R$ 3.240,00

C = ?

i = 40% a.a

t = 8 meses e 3 dias======> 243 / 360

3.240 = C . 0,40 . 243 / 360

C = R$ 12.000,00


Tempo Gasto Na Subida


Lançamento Vertical

Sabe-se que sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala em metros em função do tempo em segundos, é dada por h = -20 t² + 200t.

Em quanto tempo após o tiro, a bala atinge a altura máxima?


Resposta :


a / 2 = - 20 ====> a = -40

V = Vo + a t ====> V = 200 -- 40 t

na altura máxima V = 0 ===> 0 = 200 - 40 t

40 t = 200

t = 5 s




Encontrando o Xis


Problema do 1º Grau

Qual o valor de x na expressão abaixo:


(x + 2) / x = (2 + x) / (x - 4)


Resposta:


x + 2) . (x - 4) = x . (2 + x)

x² - 4x + 2x - 8 = 2x + x²

x² - x² - 4x + 2x - 2x - 8 = 0

-4x - 8 = 0

x = -2





A Marca do Atleta Olímpico


Lançamento Oblíquo

Um atleta olímpico, participando da prova de salto em distância, abandona o solo com velocidade Vo de módulo 10m/s e inclinada, em relação ao plano horizontal, de um ângulo ∂ tal que sen ∂ = 0,45 e cos ∂ = 0,90. Considere g = 10m/s² e despreze o efeito do ar.


A marca conseguida pelo atleta foi de:


a) 7,9m


b) 8,0m


c) 8,1m


d) 8,2m


e) 8,3m




Resposta :




a = Vx . t (alcance máximo)




Vx = Vo . cos Ý=====> Vx = 10 . 0,90


Vx = 9 m / s


Tempo de subida===> t = Vo . sen Ý / g


t = 10 . 0,45 / 10 ====> t = 0,45


Tempo Total ====>T = 2 . t


T = 2 . 0,45 ====> T = 0,90




alcance máximo ====> a = Vx . T


a = 9 . 0,90 ====> a = 8,1 m ===> letra c)






Chute a Gol



Equação Horária da Velocidade
A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros e tempo t em segundos após o chute, seja dada por h = -t² + 6t, determine:
a) em que instante a bola atinge a altura máxima.
b) a altura máxima atingida pela bola.

Resposta:


a) a / 2 = -1===> a = -2 m/s²
V = Vo + a t=====> V = 6 - 2 t
na altura máxima ===> V = 0
0 = 6 - 2t===> t = 3 s


b) V² = V²o + 2 a ∆h
0 = 36 - 4 ∆h
∆h = 9 m






Como Formar Números com Algarismos Distintos

Análise Combinatória
Quantos números naturais de quatro algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8?

Resposta:

Arranjo de nove elementos tomados quatro a quatro,logo vem:
A9,4 = 9!/(9 - 4)!
A9,4 = 9!/5!
A9,4 = 9.8.7.6.5!/5!
A9,4 = 3024 algarismos que podem ser formados.

Lucro da Lanchonete

Proporção
João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao fim de um ano eles tiverem um lucro de R$ 7.500,00 quanto vai caber para cada um?

Resposta:

João:
Se 50.000---------->100%
20.000----------> x
x = 40%
Maria:
Se 50.000----------->100%
30.000------------> x
x = 60%
Mas, o lucro foi 7.500,00,logo:
para João, fica:
40% de 7.500,00 =
R$ 3.000,00
para Maria,fica:
60% de 7.500,00 = R$ 4.500,00.

Ordem na Matriz

Matrizes
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 3 e n um número real tal que det (A^t) = 3, det (nB) = 250 e det (AB) = 6. Nessas condições o valor de n é :
a)5
b)6
c)8
d)9
e)11


Resposta:

ordem da matriz--->3
n = ?
det A^t = det A = 3
det(A.B) = det A . det B
6 = 3 . det B------> det B = 2
det (n.B) = n³ . det B
250 = n³ . 2
n³ = 125
n³ = 5³
n = 5------->letra a).

Baricentro e o Ponto

Geometria Analítica
As coordenadas do baricentro de um triângulo formado pelos pontos A(-5,9),B(-1,3) e C(3,0) é:
a)(-2,4)
b)(-1,4)
c)(2,4)
d)(1,4)
e)(2,-4)

Resposta:

O baricentro é;
xG = (-5 - 1 + 3) / 3
xG = -3/3
xG = -1
yG = (9 +3 + 0) / 3
yG = 12/3
yG = 4
Logo as coordenadas são G(-1,4)---->
letra b).

Razão Menor que Um


Progressão Geométrica

Qual o número de termos da P.G que tem razão 1/2, 1º termo 6144 e o último é 3?

Resposta:


an = 3

q = 1/2

a1 = 6144

n = ?

an = a1 . q ^n-1

3 = 6144 . (1/2)^n-1

2^-1(n-1) = 1 / 2048

2^(-n+1) = 1 / 2^11

2^(-n+1) = 2^-11

-n+1 = -11

n = 12 .












O Produto e os Termos

Progressão Geométrica
O produto de três termos de uma progressão geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à 10 somado com os outros dois termos,então a razão dessa progressão é:
a)7
b)3
c)4
d)2
e)5

Resposta:

a1 . a2 . a3 = 21
a3 = 10 + a1 + a2
(x/q . x . xq) = 216
xq = 10 + x + x/q,logo:
x³ = 216
x = √(3³ .2³)
x = 6 ,daí
6q = 10 + 6 + 6/q
6q² - 16q - 6 = 0
3q² - 8q - 3 = 0
q' = 18/6
q' = 3----->letra b).

Os Termos Crescentes

Progressão Aritmética
A sequência (a,b,c) é uma PA e a sequência (a,b,c+1) é uma PG. Se a+b+c = 18, escreva a PA sabendo que ela é crescente.

Resposta:

a + b + c = 18
(a +c ).3/2 = 18
3 (a + c ) = 36
a + c = 12
na PA: (a + c) / 2 = b,logo:
b = 12 / 2
b = 6
daí vem:

Na PG:
b² = a(c+1)
a(c+1) = 36
c+1= 36/a
c = (36/a) - 1
a + 36/a -1 = 12
a + 36/a - 13 = 0
a² -13a + 36 = 0
a' = 4
para a = 4 ,fica:
c = (36/4) -1
c = 8.
A progressão é (4,6,8).

O Sistema e a Solução

Sistema de Equações
Qual o conjunto-solução do sistema:
x² + y² = 13
x . y = 6

Resposta:

x² + y² = 13--------->(x + y)² - 2xy = 13
x . y = 6
(x + y)² = 13 + 2xy
(x+y)² = 13 + 2.6
(x + y)² = 25
x+y = ±√25
x+ y = ±5
x' = 5 - y e
x'' = -5 - y
(5 - y) . y = 6
y² - 5y + 6 =0
y' = 3 -------------->e y'' = 2
mas, (-5 - y). y = 6
y² + 5y + 6 = 0
y''' = -2 ------------> e y'''' = -3
daí:
x' = 5 -3
x' = 2 ----> e x'' = 3
x''' = -5 - (-2) ------> x''' = -3
e x'''' = -5 - (-3)------>x'''' = -2 ,
solução: {(2,3),( 3,2),(-3,-2),(-2,-3)} .

Os Dias e a Ração

Regra de Três
Um leiteiro tem 32.000kg de alfafa para alimentar 25 vacas durante 160 dias.Depois de 45 dias, compra mais 4 vacas.Quantos quilos de alfafa deve comprar até o fim dos 160 dias, se não diminui a ração?
a)3860
b)3680
c)3086
d)3068
e)3806

Resposta:

160 - 45 = 115 dias,logo vem:
Kg<-------> Vacas<------> dias
32000<------> 25<-------> 160
x<-----------> 4<--------> 115
32000/x = 25/4 . 160/115
32000/x = 5/1 . 40/23
32000/x = 200/23
x = 3680----->
letra b).



Consumo de Energia


O consumo de 12 lâmpadas iguais, acesas durante 5 horas por dia, em 39 dias, é de 26 quilowatts. Conservando apenas 9 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia, de quanto será o consumo em 30 dias?

Resposta:

12 lamp.=====>5 h======>39 d=====> 26 kw

9 lamp.=====>4 h ======>30 d=====> x

x = 18 . 26 / 36

x = 13 kw





Do 8° e do 15º


O 8º termo de uma P.A. é 89, e sua razão vale 11. Determine a soma:
a) de seus oito primeiros termos;

b)de seus quinze primeiros termos.


Resposta:


a)a8 = a1 + 7 r


89 = a1 + 77

a1 = 12

S8 = (12 + 89) . 8 / 4

S8 = 404


b) a15 = a1 + 14 r


a15 = 12 + 154

a15 = 166

S15 = (12 + 166) . 15 / 2

S15 = 1335










A Reta e o Coeficiente Angular

Geometria Analítica
Seja r a reta de equação y = 2x + 3.Determinar:
a)A forma geral da equação de r
b)Se r passa pela origem
c)O coeficiente angular de r
d)Os pontos em que a reta corta os eixos cartesianos.


Resposta:

a)y - 2x - 3 = 0----->-2x + y - 3 = 0--->
2x - y + 3 = 0
b)p/y = 0--->2x + 3 = 0
2x = -3
x = -3/2,logo não passa na origem;
c) m = 2;
d)p/x = 0---->y = 3,logo os pontos são:(-3/2,0) e (0,3).

Instante da Colisão

Movimento Retilíneo Uniforme
(PUC-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis
se aproximam uma da outra, executando movimentos
retilíneos e uniformes. Sabendo-se que
as bolas possuem velocidades de 2m/s e 3m/s e que,
no instante t = 0, a distância entre elas é de 15m,
podemos afirmar que o instante da colisão é:
a)1s
b)2s
c)3s
d)4s
e)5s

Resposta:

aΟ-----------> <------------------- Οb

Sa = Soa + Va.t
Sb = Sob - Vb .t
no encontro Sa = Sb, logo vem:
0 + 2t = 15 - 3t
5.t = 15
t = 3s------>letra c.

A Idade Chegando

Hoje,a idade do pai e do filho somam setenta anos. Daqui a dez anos ,quanto será a soma de suas idades?
Resposta:
x + y = 70
daqui a 10 anos:
pai tem x + 10
filho tem y + 10
x + y = 70 + 2 . 10
logo daqui a dez anos a soma das idades vai ser 90 anos.


Administração Penitenciária

Uma Secretaria de Administração Penitenciária promoveu um curso de capacitação profissional para agentes de segurança de ambos os sexos, em duas unidades diferentes, A e B. O número total de participantes desse curso nas unidades A e B foi, respectivamente, 120 e 200 agentes.Sabendo-se que a razão entre o número de agentes do sexo masculino e do sexo feminino era de 5 para 3 na unidade A, e que o número de agentes do sexo masculino que participou desse curso foi igual nas duas unidades, qual o número de agentes do sexo feminino na unidade B?
Resposta:
A====>120 agentes
B====>200 agentes
M =====> agentes masculinos
F======> agentes femininos
agentes masculinos em A = agentes masculino em B
M / F = 5 / 3======> M = 5F / 3
em A ,temos: M + F = 120
5F / 3 + F = 120
8F = 360
F = 45
M + 45 = 120
M = 75
em B,temos: M + F = 200
75 + F = 200
F = 125=====> número de agentes femininos na unidade B.

Potência de Mesma Base

Potenciação
Simplificar 9/8.(2/3)³.

Resposta:

9/8 = 3² / 2³
(2/3)³ = 2³ / 3³
Daí:
3² . 2-³ . 2³ . 3-³
3-¹ . 1

= 1/3.

Lei Definindo Função

Função Afim
Seja f uma função real definida pela lei f(x)= ax - 3. Se 2 é a raiz ou zero da função , qual é o valor de f(3)?
a)2/3
b)3/2
c)2
d)3
e)5

Resposta:

Se 2 é raiz é porque f(x) = 0,logo fica:
0 = 2a - 3
3 = 2a
a = 3/2,daí vem:
f(x) = 3/2x - 3
f(3) = 3/2 . 3 - 3
f(3) = 9/2 - 3
f(3) = (9 - 6) / 2
f(3) = 3/2----->letra b).

A Diagonal e o Lado

A diagonal de um quadrado mede 1,341 cm a mais que o lado. Qual o comprimento do lado desse quadrado?
Resposta:
d = l + 1,341
d = l√2
1 + 1,341 = l√2
l(√2 - 1) = 1,341
l = 1,341 / (√2 - 1)
racionalizando fica:
l = 1,341(√2 + 1)

O Raio e a Diagonal

Considere um quadrado com 3 √2 cm de lado, inscrito em um círculo. Qual o raio desse círculo?
Resposta:
l = 3√2
diagonal do quadrado=====> d² = l² + l²
d= l√2
r===> raio do círculo
r = d / 2
r = l √2 / 2
r = 3 √2 . √2 / 2
r = 6 / 2
r = 3 cm


Os Segmentos da Equação da Reta

Geometria Analítica
Qual a forma segmentária da equação da reta 3x + 9y - 36 = 0?

Resposta:

forma da equação segmentária:
ax + b = 1
3x + 9y = 36
3x/36 + 9y/36 = 36/36
x/12 + y/4 = 1--->que é a equação segmentária da reta .

Soma de Radicais

Equação Irracional
Se x.y = 36 e √x + √y = 5 , então o valor de x+y é :
a)5
b)13
c)25
d)31
e)53


Resposta:

(√x + √y)² = 25
x + 2√xy + y = 25
x + y = 25 - 2√xy
x + y = 25 - 2.√36
x + y = 25 - 2 . 6
x + y = 25 - 12
x + y = 13.------->letra b).

Progressivo e Retardado

Uma partícula está descrevendo uma trajetória retilínea com função horária da velocidade dada por v = 10 - 2 t (S.I).
Na origem dos tempos (t = 0s), o movimento é:
a) Progressivo e acelerado;
b) Progressivo e retardado;
c) Retrógrado e acelerado;
d) Retrógrado e retardado
Resposta:
V = 10 =====>V > 0=====> progressivo
a = --2 =====>a < 0="="="="="">retardado
letra b)


Soma dos Quadrados das Raízes

Sendo x' e x" as raízes da equação 5x² - 7x - 11 = 0, calcule o valor de:
x'² + x''².
Resposta:
x' + x'' = --b / a ===> 7 / 5
(x')² + (x'')² = (x' + x'')² -- 2 x' . x''
(x')² + (x'')² = (7 / 5)² -- 2 (--11 / 5 )
(x')² + (x'')² = 49 / 25 + 22 / 5
(x')² + (x'')² = 159 / 25


Lado adjacente

Lei dos Cossenos
No triângulo ABC o Ângulo A vale 60º, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3cm. O outro lado do triângulo mede?

a) 2 cm

b)8 cm

c)9 cm

d)10 cm

e)11 cm


Resposta:


Lei dos Cossenos
7² = x² + 3² - 2x.3.cos60º
49 = x² + 9 - 6x .1/2
x² - 3x - 40 = 0
x' = 8 cm ----->letra b).

Acesso ao Monumento

Razão Trigonométrica
Para permitir o acesso a um monumento que está em uma pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30º com o solo, o comprimento da rampa em metros será?
a)2 m
b)2,5 m
c)3 m
d)3,5 m
e)4 m

Resposta:

É formado um triângulo retângulo,logo aplica-se a função seno,onde
o pedestal é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a rampa é a hipotenusa, daí vem:

sen 30º = cateto oposto / hipotenusa
1/2 = 2 / x
x = 2.2
x = 4m--->que será o comprimento da rampa --->letra e).

Raiz Inteira

Equação Irracional
A equação √(x+7) + 5 = x, tem como solução:

a) uma raiz inteira negativa
b) uma raiz natural
c) duas raizes reais
d) x = 3/4
e) x = -3/2

Resposta:

√(x+7) = x - 5
√(x+7) = (x - 5)²
x + 7 = x² - 10x + 25
0 = x² - x - 10x + 25 - 7
x² -11x + 18 = 0
x' = 9
x'' = 2
substituindo lá em cima ,vem:
√(9+7) = 9 - 5
√16 = 4------>confere, 9 é uma das raízes;
agora para x'' = 2, vem:
√(2+7) = 2 - 5
√9 ≠ - 3,logo 2 não é raiz da equação.
uma raiz natural------>letra b).

Quadrado da Soma

Equação Irracional
Se √(a+b) = 2 . Então (a+b)² é :
a)4
b)2
c)16
d)8
e)12

Resposta:

√(a+b)² = 2²
a + b = 4
elevando ao quadrado ,fica:
(a + b)² = 4²
(a + b)² = 16---->letra c).

A Velocidade e o Percurso

Velocidade Média
Percorrendo 30 km à velocidade média v , gasta-se 1h a mais do que quando se faz o mesmo percurso à velocidade média v+1 ( as velocidades estão dadas em quilômetros por hora) . Se o percurso for feito num sentido à velocidade v e no sentido contrário à velocidade v+1 , o tempo total gasto para percorrer os 60 km será de:
a)7h
b)8h
c)9h
d)10h
e)11h

Resposta:

V = S / t
pelo problema,temos:
v = 30 / (t+1) ---->(I)
v+1 = 30 / t------>(II)
colocando o valor de (I) em (II),vem:
30 / (t+1) + 1 = 30 / t
mmc = (t+1).t,logo:
30t + (t+1).t = 30(t+1)
30t + t² + t = 30t + 30
t² + t - 30 = 0
(-1 ±√121) / 2
t' =( -1 + 11) / 2
t' = 10/2
t' = 5h
t'' = -6,não serve pois é negativo,daí:
o tempo total para 60 km é 2 . t ----->10h----->
letra d) .

A Soma dos Inversos

Sistema de Equações
O produto de dois números é 3 e a soma de seus inversos é 4/3; então , os números são:
a)3 e 1
b)1/3 e 9
c)-1/3 e -9
d)-1 e -9
e)2 e 5


Resposta:

x . y = 3----->x = 3/y
1/x + 1/y = 4/3
1/(3/y) + 1/y = 4/3
y/3 + 1/y = 4/3
y² - 4y + 3 = 0
(4 ±√4) / 2
x' = (4+ 2)/2
x' = 3
x'' = (4 - 2)/2
x'' = 1------> letra a).

Salário do João

João gasta 1/4 do seu salário na prestação de sua casa, 3/5 do restante ele gasta com alimentação, sobrando-lhe ainda a quantia de R$ 300,00. Qual o valor do salário de João?
Resposta:
1 / 4 x =====>prestação
x ======>salário
3 / 4 x====> sobra
3 / 5 . 3 / 4 x =======>alimentação
R$ 300,00=====> foi o que sobrou
1 / 4x + 3 / 5 . 3 / 4x + 300 = x
5x + 9x + 6000 = 20x
6x = 6000
x = 1000
o salário de João é R$ 1000,00


O Lado Oposto e o Ângulo

Lei dos Cossenos
No triângulo ABC o Ângulo A vale 60º, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3cm. o outro lado do triângulo mede?

Resposta:

Pela Lei dos Cossenos, vem:
7² = x² + 3² - 2.x.3 . cos 60º
49 = x² + 9 - 6x. 1/2
49 = x² + 9 - 3x
-x² + 3x + 40 = 0
x² - 3x - 40 = 0
(3 ±√169) / 2
x' = (3 + 13) / 2
x' = 16/2
x' = 8 cm
x" = -9/2--->não serve,pois não existe segmento com medida negativa;
logo, o outro lado do triângulo mede 8 cm.

O Triângulo, o Lado e o Ângulo

Lei do Senos

Qual o valor do ângulo A de um triângulo ABC com as medidas, AB = 8cm, BC 8√3cm, se o ângulo BCA = 30º?

Resposta:

Pela lei dos Senos:
ângulo A----->A = x
ângulo C------>C = 30º,logo vem:
8 / sen 30º = 8√3 / sen x
8 / (1/2) = 8√3 / sen x
16 = 8√3 / sen x
16. sen x = 8√3
sen x = 8√3 / 16
sen x = √3 / 2,logo x = 60º,pois sen 60º = √3 / 2.

Do 23º ao 30º

Qual é o 23° termo da P.A de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255?
Resposta:
a30 = a1 + 29 r e a23 = a1 + 22 r
a30 = a1 + 87 e a23 = a1 + 66
a1 = a23 - 66
a30 = a23 - 66 + 87
a30 = a23 + 21
s30 = (a1 + a30 ) .30 / 2
255 = (a1 + a23 + 21) . 15
a1 + a23 + 21 = 17
a1 + a23 = --4
a1 + a1 + 66 = --4
2a1 = --70 =====> a1 = --35
a23 = a1 + 66 =====> a23 = --35 + 66
a23 = 31


Os Parâmetros

Geometria Analítica
Encontre a equação paramétrica da reta 2x - y = -4.

Resposta:

x = (-4 + y) / 2
x = -2 + y/2
x = y/2 - 2
x = (y - 4) / 2
fazendo y - 4 = t, temos:
y = t + 4 e
x = t/2.

O Veículo e o Combustível

Progressão Aritmética
Um piloto testou um automóvel de um determinado modelo,para medir o consumo médio de conbustível desse veículo.Com relação ao teste,considere as seguintes informações:

O automóvel foi testado durante vinte dias.
O automóvel percorreu exatamente 30km,no primeiro dia.
O automóvel percorreu,a partir do segundo dia,10km a mais do que no dia anterior,assim:
a) Uma distãncia inferior a 100km,foi percorrida nos três primeiros dias.
b) Uma distãncia superior a 300km,foi percorrida nos cinco primeiros dias.
c) Menos de 150km,foram percorridos no décimo dia.
d) Mais de 230km,foram percorridos no décimo quinto dia.
e) Menos de 200km,foram percorridos no vigésimo dia.

Resposta:

Trata-se de um PA de razão 10 km,onde:
a1 = 30
a2 = 40
a3 = 50 ---->a) é falsa ,pois a1+a2+a3= 120
a5= a1 + 4r----> a5 =30 + 40= 70--->letra b) falso
a10 = a1 + 9r----->a10 = 30 + 90 = 120--->
letra c) verdadeira
a15 = a1 + 14r---> a15 = 30 + 140= 170--->letra d) falso
a20 = a1 + 19r---->a20 = 30 + 190 = 220 ----> letra e) falso.

A Função e sua Composta

Função Composta
Dadas as funções reais f(x) = 1 / (x - 1),x ≠ 1 e g(x) = 2x - 4,o valor de (fog)(2)+(gof)(1/2) é:
a)2
b)3
c)4
d)-9
e)-3


Resposta:

a)fog = 1 / (2x - 4 - 1)
fog = 1 / (2x - 5)
fog(2) = 1 / -1
fog(2) = -1
b)gof = 2 (1/(x-1) ) - 4
gof = 2 / (x-1) - 4
gof(1/2) = 2 / -1/2 - 4
gof = -4 - 4
gof = -8
fog(2) + gof(1/2) = -1 - 8
fog(2) + gof(1/2) = -9---->
letra d).

A Soma dos Coeficientes

Polinômio
Ao dividir o polinômio k(x) de coeficientes reais por (x - 4), encontramos x² + 2x - 1 e resto 3. Qual a soma dos coeficientes?

Resposta:

k(x) ÷ (x - 4) = x² + 2x - 1 e r = 3
(x² + 2x - 1) (x - 4) + 3 = k(x)
x³ - 2x² - 9x + 7 = k(x)
soma dos coeficientes:
1 - 2 - 9 =
-10 + 7 = -3.

Preço do Veículo

Um veículo tem seu preço depreciado conforme tabela abaixo:
Ano: 2005--------> preço: 45 000
Ano: 2006 -------->preço: 36 000
Ano: 2007 -------->preço: 28 800
Ano: 2008---------> preço: M
Se o percentual de desvalorização anual desse carro se mantiver constante, conforme sugerido pela tabela, o preço M desse veículo em 2008 será igual a?
Resposta:
o percentual de desvalorização é 20% .
28800 . 20%= 5760
28800 - 5670 = 23040 = M --->que é o preço do veículo em 2008.


A Diagonal e o Perímetro

Geometria Plana
Qual a área de um retângulo sabendo que a diagonal mede 10 m e o perímetro é igual a 28 m?
Resposta:
diagonal=====>d² = a² + b²
perímetro===> 2 (a + b) = 28
a + b = 14====> a = 14 - b
10² = (14 - b)² + b²
b² - 14 b + 48 = 0
b' = 8 e b''= 6 ====> a = 6
área do retângulo ===> S = a . b
S = 6 . 8====> S = 48 m²


O Maior Primo

Divisibilidade
A soma do maior com o menor divisor primo de 70 é um número:
a) par
b) divisível por 5
c) quadrado perfeito
d)múltiplo de 7
e) divisível por 11
Resposta:
fatorando 70, temos : 2 . 5 . 7
7===>maior divisor primo
2===>menor divisor primo
7 + 2 = 9 ( letra c )


Os Netinhos e os Bombons

Um certo avô possui netinhos com idades 3, 4 e 5 anos. Ele quer dividir 60 bombons direta e proporcionalmente a idade de seus netinhos. Quantos bombons cada netinho ganhará?
Resposta:
x + y + z = 60
60 / 12 = x / 3=====> x = 15
60 / 12 = y / 4=====> y = 20
60 / 12 = z / 5=====> z = 25


A Função e o Ciclo

Função Trigonométrica
(FGV-SP)Considere a função f(x)= 2-(3cos^4x)/4. Os valores máximo e mínimo de f(x) são, respectivamente:
a)2 e 5/4
b)2 e 4/5
c)4 e 2/5
d)4 e 5/2
e)5 e 1/2


Resposta:

f(x)= 2 - (3cos^4x)/4. No ciclo trigonométrico o maior valor possível que cos x pode assumir é +1,logo:
f(x) = 2 -( 3 . 1)/4
f(x) = 2 - 3/4
f(x) = 5/4
0 menor valor é -1,mas -1 ao quadrado fica positivo ,aí volta o mesmo valor de cosx = +1,daí façamos para cos x = 0,aí temos:
f(x) = 2 - ( 3 . 0)/4
f(x) = 2 - 0/4
f(x) = 2.
A resposta é a letra a).

Ângulo entre as Retas

Geometria Analítica
Dadas as retas r: y = 3x + 1 e s: y = -2x - 1, calcular o ângulo formado entre elas.

Resposta:
mr = 3
ms = -2
tg β é igual ao módulo de (mr - ms) / (1 + mr . ms).então temos:
tg β = ( 3 + 2) / (1 - 6)
tg β = I-1 I
tg β = 1
β = arc tg 1-----> β = 45º, que é o ângulo formado entre as retas.

Expoente Negativo

Potenciação
Simplifique a expressão 1/x^-6 + 2/(x²)^-3 + 8x^6.

Resposta:

Para resolver basta aplicar as propriedades de potência:
x^6 + 2 . x^6 + 8x^6
pondo x^6 em evidência,vem:
x^6 (1 + 2 + 8)
11 x^6.

Feixe de Reta

Geometria Analítica
Sendo m = 2 e p(3,5), achar a equação do feixe de reta.

Resposta:

y - yo = m (x - xo)
y - 5 = 2 (x - 3)
y - 5 = 2x - 6
y = 2x - 1
2x - y -1 = 0, é a forma da equação geral do feixe de reta pedido.

O Capital e o Rendimento

Matemática Financeira
Um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% trimestrais ao longo de 15 meses, rende um total de quanto?

Resposta:

j = Cit/100
trimestre--->1
i = 20/100 = 0,20,logo vem:
j = 100.000.0,20.1
j = R$ 20.000,00, mas esse valor é correspondente a 1 trimestre e
como 15 meses = 5 trimestres,temos:
20.000 x 5 = 100.000
em 15 meses rende um total de R$ 100.000,00.

O Corpo e sua Velocidade

Um corpo desloca-se sobre uma trajetoria obedecendo a função horária:
s = -40 - 2t + 2t² ( no SI)
Pede- se:
A) A posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do corpo;
B) A função horária da velocidade;
C) O instante em que o corpo passa pela primeira origem das posições.
Resposta:
A) espaço inicial = -40 m
Vel. inicial = -2 m/s
aceleraçaõ====>a/2 = 2 ===> a = 4 m / s²
B) V = -2 + 4 t
C) para s =0 ,temos: -40 - 2 t + 2 t² = 0
t² - t - 20 = 0
t' = 5 s (instante em que o corpo passa pela primeira origem das posições)


O Espaço em Função do Tempo


Um corpo desloca-se sobre uma trajetoria obedecendo à função horária s = -40 - 2t + 2t² ( no SI ).

Pede- se:

A) A posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do corpo;

B) A função horária da velocidade;

C) A velocidade do corpo no instante t = o,25 minutos.



Resposta:


A) espaço inicial = -40 m

Vel. inicial = -2 m/s

a/2 = 2 ===> a = 4 m / s²


B) V = -2 + 4 t


C) o,25 minutos = 1/4 minutos = 15 segundos,daí vem:

V = -2 + 4. 15

V = -2 + 60

V = 58m/s.






A Soma dos quinze

Progressão Aritmética
A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150.O 8º termo dessa PA é:
a)12
b)11
c)10
d)9
e)8

Resposta:
a8 = a1 + 7r
a15 = a1 + 14r
s15 = (a1 + a15) n / 2
150 = (a1 + a1 + 14r ) . 15 / 2
300/15 = 2a1 + 14r
2a1 + 14r = 20
2(a1 + 7r) = 20
2(a8) = 20
a8 = 20 /2
a8 = 10---->letra c).

Termo Geral de uma PA

Progressão Aritmética
Numa progressão aritmética o termo geral é an = 3n+2 , n pertence IN*. A soma dos 20 primeiros termos é;
a)760
b)706
c)607
d)670
e)766

Resposta:

a1 = 3 + 2
a1 = 5
a20 = 60 + 2
a20 = 6 2
s20 = (5 + 6 2)20 / 2
s20 = 67. 10
s20 = 670--->letra d).

Operação Radical

Radicais
O quociente [7√3 - 5√48 + 2√192]/3√3 é igual a:
a)2
b)1
c)1/2
d)3√3
e)2√3

Resposta:

[7√3 - 5√(3.16) + 2√(3.64)] /3√3

[7√3 - 20√3 + 16√3] /3√3

√3.[ 7 - 20 + 16 ] /3√3
3√3 / 3√3
= 1---->letra b).

Caminhada para a Escola


Um menino sai de sua casa e caminha para escola dando, em média,um passo por segundo.Se o tamanho médio de seu passo é de 0,5 m e se ele gasta 5 minutos no trajeto.A distância entre sua casa e a escola, em metros,é de:



Resposta:

a)0,15

b)1,5

c)15

d)150

e)300


v = 1 p / s


tamanho do passo ===> 0,5 m


t = 5 min =====> t = 300 s


v = s / t


1 = s / 300


s = 300 passos


mas, 1 p = 0,5 m , logo s = 300 . 0,5 = 150 m (letra d)




Velocidade Alcançada


A distância entre Campo Grande e São Gabriel é de 138 km. Se é gasta 1h 45min para fazer esse percurso,a velocidade escalar média é,aproximadamente:

a)16,5m/s

b)18,6m/s

c)20,8m/s

d)21m/s

e)21,9m/s.



Resposta:


t = 1h 45 min===> t = 6300 s


s = 138 km ====> s = 138000 m


v = ?


v = 138 . 10³ / 6,3 . 10³


v = 138 / 6,3


v = 21,9 m/s (aproximadamente) ==>letra e)




Valor de X + 5

Sabendo- se que x - 2y = -1 e x + 2y = 11 , o valor de x+5 é?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
Resposta:
x = -1 + 2 y
-1 + 2 y + 2 y = 11
4 y = 11 + 1
4 y = 12
y = 3
x = -1 + 2(3)
x = 5
x + 5 =====> 5 + 5 = 10 ==> letra d


Real e Complexo

Números Complexos
Determinar os números reais x e y tais que (2x + 2i) + (3 + yi) = 5 + 7i.

Resposta:

2x +3 + 2i + yi = 5 +7i
2x + 3 + (2 + y)i = 5 + 7i
2x + 3 = 5---->2x = 2--->
x = 1
2 + y = 7
y = 7 - 2----> y = 5.

Quadrado do Número

Se a expressão (1 / x ) - √3 é igual a x +√ 3 , então x² vale:
Resposta:
1/x -x = √3 + √3
logo :( 1 -x² ) / x = 2 √3
1- x² = 2 √3 . x
x² = 1 - 2x √3

Função Composta

Sejam as funções f(x) = x²- 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 calcule f(g(1)).

Resposta:

fog = (2x +1)² - 2(2x + 1) + 1
fog(1) = 3² - 2(3) + 1
fog(1) = 9 - 6 + 1
fog(1)= 4.

O Relógio e o Ângulo

Determine, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 3h 15 minutos.

Resposta:

usamos o esquema:
Ponteiro Horas : 30.h + 0,5.min
Ponteiro Minutos: 6.min, daí vem:
30 . 3 + 0,5 . 15 = 90 + 7,5 = 97,5º
6 . 15 = 90º,logo fica:
97,5 - 90 = 7,5º.

Graus e Radianos

Converter para radianos:
a)600º
b)72º


Resposta:

a)180º----------->π radianos
600° --------- x
x = 600.π / 180
x == 10. π / 3 rad.

b)180º----------->π radianos
72º------------>x
x = 72. π / 180
x = 2.π / 5 rad.

Área e Perímetro

A área de um retângulo é de 15m². Sua base é x + 3 e sua altura x + 1. Nestas condições podemos afirmar que o perímetro do retângulo é:
a) 16
b) 14
c) 12
d) 10
e) 8
Resposta:
Área= Base X Altura(h) , logo :
15 = (x+3) . (x+1)
assim x²+x +3x + 3 = 15
daí : x²+ 4x-12=0
logo: x=2m
Perímetro =soma dos lados. logo:
base=x+3
B=5 e
altura=x+1 h=3
daí : 2p=5+5+3+3
2p=16m
onde 2p é o perímetro
letra a

Dimensões do Retângulo


O perímetro de um retângulo é 24 m². Se o seu comprimento é aumentado de 2 m e sua largura de 3 m, a sua área aumenta para 37 m². Quais as dimensões do retângulo?



Resposta:


2p===========>perímetro


a e b =======> dimensões


S = a . b=======>área do retângulo


2a + 2b = 2p


2a + 2b = 24


a + b = 12 ===========> a = 12 -- b


(a + 2) (b + 3) = a b + 37


(12 - b + 2) (b + 3) = (12 -- b). b + 37


(14 -- b) (b + 3) = 12b -- b² + 37


--b² + 14b + 42 -- 3b = 12b -- b² + 37


11b -- 12b = 37 -- 42


b = 5


a = 12 -- b


a = 12 -- 5


a = 7


(a,b)=======> (7,5) são as dimensões do retângulo






Custo dos sapatos

Máximo Divisor Comum Zeca, Peu e Biu compraram sapatos. Zeca gastou R$ 144,00 , Peu R$ 72,00 e Biu R$ 120,00.Todos os sapatos custaram o me...