Quantidade de Cópias

Progressão Geométrica
Um funcionário de uma empresa recebeu a incumbência de tirar algumas cópias de certo documento. Sabe-se que ele iniciou a execução dessa tarefa em uma segunda feira, na qual tirou parte das cópias requisitadas e que a cada dia subsequente tirou 3/2 da quantidade tirada no dia anterior. Se ele concluiu o serviço na 6ª feira dessa mesma semana e na 4ª feira ele tirou 72 cópias, o total de cópias que lhe foram solicitadas eram:
a)422
b)224
c)242
d)482
d)284

Resposta:

q = 3/2
a3 = 72
n = 5
a1 = a3 / q²------> a1 = 72 / (9/4) = 32
a1 = 32
Sn = [ a1(q^n ─ 1 ] / ( q ─ 1 )
Sn = [ 32.243/32 ─ 32 ] / (1/5)
Sn = [ 243 ─ 32 ] / (1/5)
Sn = 211 / (1/5)
Sn = 422------->letra a).

Produto das Raízes

Equação do 2º Grau
Determine c de modo que o produto das raízes da equação 3x² + cx + (c - 3) = 0 seja igual à 4.

Resposta:

3x² + cx + (c-3) = 0
(c - 3) / 3 = 4
c - 3 = 12
c = 15
a equação fica
3x² + 15x + 12 = 0
que é igual à:
x² + 5x + 4 = 0.

A Montagem da Lanchonete

Proporção
João e Maria montaram uma lanchonete.
João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00.
Se ao fim de um ano eles tiverem um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber para cada um?

Resposta:

João:
Se 50.000---------->100%
20.000----------> x
x = 40%
Maria:
Se 50.000----------->100%
30.000------------> x
x = 60%
Mas, o lucro foi 7.500,00,logo:
para João, fica:
40% de 7.500,00 = R$ 3.000,00
para Maria,fica:
60% de 7.500,00 = R$ 4.500,00.

O Número da Matriz

Matrizes
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 3 e n um número real tal que det (A^t) = 3, det (nB) = 250 e det (AB) = 6. Nessas condições o valor de n é :
a)7
b)6
c)8
d)9
e)5

Resposta:

ordem da matriz--->3
n = ?
det A^t = det A = 3
det(A.B) = det A . det B
6 = 3 . det B------> det B = 2
det (n.B) = n³ . det B
250 = n³ . 2
n³ = 125
n³ = 5³
n = 5------->letra e).

O Baricentro e as Coordenadas

Geometria Analítica
As coordenadas do baricentro de um triângulo formado pelos pontos A(-5,9),B(-1,3) e C(3,0) é:
a)(-1,4)
b)(2,4)
c)(-2,4)
d)(1,2)
e)(-2,-1)


Resposta:

O baricentro é;
xG = (-5 - 1 + 3) / 3
xG = -3/3
xG = -1
yG = (9 +3 + 0) / 3
yG = 12/3
yG = 4
Logo as coordenadas são G(-1,4)--->letra a).

A Progressão e a Razão

Progresão Geométrica
O produto de três termos de uma progressão geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à 10 somado com os outros dois termos,então a razão dessa progressão é :
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

Resposta:

a1 . a2 . a3 = 216
a3 = 10 + a1 + a2
(x/q . x . xq) = 216
xq = 10 + x + x/q,logo:
x³ = 216
x = √(3³ .2³)
x = 6 ,daí
6q = 10 + 6 + 6/q
6q² - 16q - 6 = 0
3q² - 8q - 3 = 0
q' = 18/6
q' = 3----->letra a).

Os Termos da Progressão

Progressão Aritmética
A sequência (a,b,c) é uma PA e a sequência (a,b,c+1) é uma PG. Se a+b+c = 18, escreva a PA sabendo que ela é crescente.

Resposta:

a + b + c = 18
(a +c ).3/2 = 18
3 (a + c ) = 36
a + c = 12
na PA: (a + c) / 2 = b,logo:
b = 12 / 2
b = 6
daí vem:

Na PG:
b² = a(c+1)
a(c+1) = 36
c+1= 36/a
c = (36/a) - 1
a+36/a-1=12
a+36/a-13=0
a² -13a + 36 = 0
a' = 4
para a = 4 ,fica:
c = (36/4) - 1
c = 8.
A progressão é (4,6,8).

Os Termos Desconhecidos

Sistema de Equações
Qual a solução de:
x² + y² = 13
x . y = 6


Resposta:

x² + y² = 13--------->(x + y)² - 2xy = 13
x . y = 6
(x + y)² = 13 + 2xy
(x+y)² = 13 + 2.6
(x + y)² = 25
x+y = ±√25
x+ y = ±5
x' = 5 - y e
x'' = -5 - y
(5 - y) . y = 6
y² - 5y + 6 =0
y' = 3 -------------->e y'' = 2
mas, (-5 - y). y = 6
y² + 5y + 6 = 0
y''' = -2 ------------> e y'''' = -3
daí:
x' = 5 -3
x' = 2 ----> e x'' = 3
x''' = -5 - (-2) ------> x''' = -3
e x'''' = -5 - (-3)------>x'''' = -2 ,
solução: {(2,3),( 3,2),(-3,-2),(-2,-3)} .

O Leiteiro e a Alfafa

Regra de Três
Um leiteiro tem 32.000kg de alfafa para alimentar 25 vacas durante 160 dias.Depois de 45 dias, compra mais 4 vacas.Quantos quilos de alfafa deve comprar até o fim dos 160 dias, se não diminui a ração?
a)3680
b)3608
c)3860
d)3806
e)3086

Resposta:

160 - 45 = 115,logo vem:
Kg<------> Vacas<------> dias
32000<-----> 25<--------> 160
x<----------> 4<--------> 115

32000 / x = 25/4 . 160 / 115
32000 / x = 5 / 1 . 40 / 23
32000 / x = 200 / 23
200 x = 32000 . 23
x = 736000 / 200
x = 3680--->letra a).

Expressão Algébrica

Expressão Algébrica
Simplifique a expressão : (4/5)a²b . 10/(3a) .

Resposta:

40/5 . a²b/(3a )
=8 / 3 . ab .

Forma Segmentária

Geomatria Analitica
Passar a equação 3x + 9y - 36 = 0 para a forma segmentária.

Resposta:

Para colocar na forma segmentária basta passar o termo independente para o 2º membro e dividir tudo pelo seu valor.assim vem:
3x + 9y = 36
3x/36 + 9y/36 = 36/36
x/12 + y/4 = 1--->que é a equação segmentária da reta.

O Maior Valor Inteiro

Função Composta
Uma função do 1 grau é tal que f(-2) = 2 e sua raiz é -6. Determine o maior valor inteiro de x para os quais g(x) > f(x) sendo g(x) = -2x + 1.

Resposta:

forma da equação do 1º grau: f(x) = ax + b
para f(-2) = 2------> 2 = -2a + b
para f(x) = 0 ----> 0 = -6a + b,daí fica o sistema:
[ -2a + b = 2(I)
[ -6a + b = 0 (II)
multiplicando (I) por -1 e somando com (II),vem:
[2a - b = -2
[-6a + b = 0
-----------------
-4a = -2
a = 1/2
b = 3---->f(x) = x/2 + 3
g(x) > f(x)
-2x + 1 > x/2 + 3
-4x -x > 4
-5x > 4
5x < - 4 x < -4/5,de fato :

para x = -1---->não serve ,pois f(x) > g(x)
para x = -2----> f(x) = -2/2 + 3 -->f(x) =2
para x = -2---->g(x) = -2(-2) + 1----> g(x) = 5,

logo temos:
g(x) >f(x) quando o maior inteiro for -2.

O Navio e o Farol

Lei dos Cossenos
Um navio se encontra num ponto A, distante 10 milhas de um farol F, no mesmo instante, um outro navio se encontra num ponto B, distante 15 milhas do farol F, de tal modo que o ângulo AFB = 60º , qual a distancia entre os dois navios nesse instante?

Resposta:

Pela Lei dos Cossenos, temos:
x² = 10² + 15² - 2.10.15.cos 60º
x² = 325 - 150
x² = 175
x = ±√(5².7)
x = 5 √7 , que é a distância entre os navios.

Raiz Natural

Equação Irracional
A equação √(x+7) + 5 = x tem como solução:

a) uma raiz inteira negativa
b) uma raiz natural
c) duas raizes reais
d)3/2
e)2/3.

Resposta:

√(x+7) = x - 5
√(x+7) = (x - 5)²
x + 7 = x² - 10x + 25
0 = x² - x - 10x + 25 - 7
x² -11x + 18 = 0
x' = 9
x'' = 2
substituindo lá em cima ,vem:
√(9+7) = 9 - 5
√16 = 4------>confere, 9 é uma das raízes;
agora para x'' = 2, vem:
√(2+7) = 2 - 5
√9 ≠ - 3,logo 2 não é raiz da equação.
letra b) uma raiz natural.

O Real como Solução

Equação Irracional
Se o número real α é a solução da equação √(4 + 3x) - x = 0, então α é tal que:
a) α ≤ 0
b) -2 ≤ α ≤ 2
c) -1 ≤ α ≤ 3
d) 1 ≤ α ≤ 5
e)α = 3

Resposta:

√(4+3x)² = x²
4 + 3x = x²
x² - 3x - 4 = 0
x' = 4
x'' = -1
substituindo lá em cima ,verifica-se que somente 4 é raiz da equação,
logo ----->letra d),
pois 4 está entre 1 e 5.

Os Pontos da Reta

Geometria Analítica
Seja r a reta de equação y = 2x + 3.Determinar:
a)A forma geral da equação de r
b)Se r passa pela origem
c)O coeficiente angular de r
d)Os pontos em que a reta corta os eixos cartesianos.

Resposta:

a)y - 2x - 3 = 0----->-2x + y - 3 = 0--->
2x - y + 3 = 0
b)p/y = 0--->2x + 3 = 0
2x = -3
x = -3/2,logo não passa na origem;
c) m = 2;
d)p/x = 0---->y = 3,logo os pontos são:(-3/2,0) e (0,3).

Trajetória em Sentido Contrário

Movimento Retilíneo Uniforme
(PUC-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis
se aproximam uma da outra, executando movimentos
retilíneos e uniformes (veja a figura). Sabendo-se que
as bolas possuem velocidades de 2m/s e 3m/s e que,
no instante t=0, a distância entre elas é de 15m,
podemos afirmar que o instante da colisão é:
a)1s
b)2s
c)3s
d)4s
e)5s

Resposta:

aΟ-----------> <------------------- Οb
Sa = Soa + Va.t
Sb = Sob - Vb .t
no encontro Sa = Sb, logo vem:
0 + 2t = 15 - 3t
5.t = 15
t = 3s------>letra c.

A Função, o Domínio e os Pontos

Função do 1º Grau
Considere uma função f cujo o domínio é [0,6] e os pontos (1,2);(4, 2);(6,4)pertencentes à mesma. Calcule f(1/2).

Resposta:

Os pontos (1,2) e (4,2) informam que neles a função é constante;
os pontos (4,2) e (6,4) definem a função linear,logo:
sua forma é: f(x) = ax + b
substituindo os pontos fica:
2 = 4a + b(I)
4 = 6a + b)II)
multiplicando (I) por -1 e somando com (II),vem:
2 = 2a
a = 1
2 = 4.(1) + b
b = -2
a função é: f(x) = x - 2
f(1/2) -----> 1/2 -2
f(1/2)= -3/2.

O Zero da Função Afim

Função Afim
Seja f uma função real definida pela lei f(x)= ax - 3.Se 2 é a raiz ou zero da função , qual é o valor de f(3)?
a)3/2
b)2/3
c)2
d)3
e)5

Resposta:

Se 2 é raiz é porque f(x) = 0,logo fica:
0 = 2a - 3
3 = 2a
a = 3/2,daí vem:
f(x) = 3/2x - 3
f(3) = 3/2 . 3 - 3
f(3) = 9/2 - 3
f(3) = (9 - 6) / 2
f(3) = 3/2----->letra a).

Valor das Funções

Função Composta
Dadas as funções f e g de R em R definidas por: f(x)= x + 5 e g(x)= x - 1, então f(g(x))e g(f(x)) são iguais à:
a)x + 4
b)x + 3
c)x + 3/2
d)x - 5
e)x - 5/2

Resposta:

fog = (x-1) + 5
fog = x + 4
gof =(x+5) - 1
gof = x + 4,logo conclui-se que fg(x) = gf(x)---->letra a).

Lado e Ângulo Oposto

Lei dos Cossenos
No triângulo ABC o Ângulo A vale 60º, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3cm. O outro lado do triângulo mede:
a)8 cm
b)10 cm
c)11 cm
d)12 cm
e)13 cm

Resposta:

Lei dos Cossenos
7² = x² + 3² - 2.x.3.cos60º
49 = x² + 9 - 6x.1/2
x² - 3x - 40 = 0
x' = 8 cm --->letra a).


Passando para a Forma Segmentária

Geometria Analítica
Qual a forma segmentária da equação 3x + 9y - 36 = 0

Resposta:

forma da equação segmentária da reta:
ax + b = 1
3x + 9y = 36
3x/36 + 9y/36 = 36/36
x/12 + y/4 = 1--->que é a equação segmentária da reta dada.


A Rampa e o Monumento

Razão Trigonométrica
Para permitir o acesso a um monumento que está em uma pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30º com o solo, o comprimento da rampa em metros será?
a)4 m
b)5 m
c)6 m
d)7 m
e)8 m


Resposta:

É formado um triângulo retângulo,logo aplica-se a função seno,onde
o pedestal é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a rampa é a hipotenusa, daí vem:
sen 30º = cateto oposto / hipotenusa
1/2 = 2 / x
x = 2.2
x = 4m--->que será o comprimento da rampa--->letra a).

Soma das Raízes

Equação Irracional
Se x.y = 36 e √x + √y = 5 , então o valor de x+y é :
a)5
b)10
c)25
d)13
e)20


Resposta:

(√x + √y)² = 25
x + 2√xy + y = 25
x + y = 25 - 2√xy
x + y = 25 - 2.√36
x + y = 25 - 2 . 6
x + y = 25 - 12
x + y = 13.------->letra d).

O Quadrado e a Soma

Equação Irracional
Se √(a+b) = 2 . Então (a+b)² é:
a)4
b)8
c)25
d)10
e)16


Resposta:

√(a+b)² = 4
a + b = 4
elevando ao quadrado ,fica:
(a + b)² = 4²
(a + b)² = 16---->letra e).

O Percurso e o Tempo Gasto

Velocidade
Percorrendo 30 km à velocidade média v , gasta-se 1h a mais do que quando se faz o mesmo percurso à velocidade média v+1 ( as velocidades estão dadas em quilômetros por hora) . Se o percurso for feito num sentido à velocidade v e no sentido contrário à velocidade v+1 , o tempo total gasto para percorrer os 60 km será de:
a)10h
b)8h
c)9h
d)12h
e)11h

Resposta:

V = S / t
pelo problema,temos:
v = 30 / (t+1) ---->(I)
v+1 = 30 / t------>(II)
colocando o valor de (I) em (II),vem:
30 / (t+1) + 1 = 30 / t
mmc = (t+1).t,logo:
30t + (t+1).t = 30(t+1)
30t + t² + t = 30t + 30
t² + t - 30 = 0
(-1 ±√121) / 2
t' =( -1 + 11) / 2
t' = 10/2
t' = 5h
t'' = -6,não serve pois é negativo,daí:
o tempo total para 60 km é 2 . t ----->10h----->letra a).

A Soma e o Produto

Sistema de Equações
O produto de dois números é 3 e a soma de seus inversos é 4/3; então , os números são:
a)2 e 7
b)1/3 e 9
c)-1/3 e -9
d)3 e 1
e)1 e 2

Resposta:

x . y = 3----->x = 3/y
1/x + 1/y = 4/3
1/(3/y) + 1/y = 4/3
y/3 + 1/y = 4/3
y² - 4y + 3 = 0
(4 ±√4) / 2
x' = (4+ 2)/2
x' = 3
x'' = (4 - 2)/2
x'' = 1-------> letra d).

Os lados do Triângulo

Lei dos Cossenos
No triângulo ABC o Ângulo A vale 60º, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3cm. o outro lado do triângulo mede?

Resposta:

Pela Lei dos Cossenos,vem:
7² = x² + 3² - 2.x.3 . cos 60º
49 = x² + 9 - 6x. 1/2
49 = x² + 9 - 3x
-x² + 3x + 40 = 0
x² - 3x - 40 = 0
(3 ±√169) / 2
x' = (3 + 13) / 2
x' = 16/2
x' = 8 cm
x" = -9/2--->não serve,pois não existe segmento com medida negativa;
logo, o outro lado do triângulo mede 8 cm.

O Valor, o Ângulo e os Lados

Lei do Senos
Qual o valor do ângulo A de um triângulo ABC com as medidas, AB = 8cm, BC = 8 √3cm, se o ângulo BCA = 30º?

Resposta:

Pela lei dos senos:
ângulo A----->A = x
ângulo C------>C = 30º,logo vem:
8 / sen 30º = 8√3 / sen x
8 / (1/2) = 8√3 / sen x
16 = 8√3 / sen x
16. sen x = 8√3
sen x = 8√3 / 16
sen x = √3 / 2,
logo x = 60º,
pois sen 60º = √3 / 2.

A Reta e os Parâmetros

Geometria Analítica
Encontre a equação paramétrica da reta 2x - y + 4 = 0.

Resposta:

x = (-4 + y) / 2
x = -2 + y/2
x = y/2 - 2
x = (y - 4) / 2
fazendo y - 4 = t,vem:
y = t + 4
x = t/2.

A Reta e sua Equação Geral

Geometria Analítica
Dada a reta y = -4x/3 + 4,encontre a sua equação geral.

Resposta:

y = -4x/3 + 12/3
3y = -4x + 12
4x + 3y - 12 = 0,que é a equação geral da reta pedida.

Os minutos

Medidas Não-Decimais 273 minutos são equivalentes à: a)4 horas 13 minutos e 20 segundos b)4 horas 30 minutos e 3 segundos c)4 horas ...