Total do sexo masculino

Problema com Fração
Na 5ª série A, faltaram 6 alunos, que correspondem a 2/12 do número total de alunos da classe. Quantos alunos do sexo masculino tem a 5ª A,se os alunos que faltaram ,são todos do sexo feminino?
a)23
b)25
c)28
d)30
e)32


Resposta:

total de alunos--------x
sexo feminino--------6
sexo masculino--------y
x = 6 + y,logo:
(2/12).x  = 6
(1/6) . x = 6
x = 6 . 6 
x = 36,assim:
36 = 6 + y
36 - 6 = y
30 = y
letra d).







Idade de Paulo e Diogo

Problema do 1ºGrau
Sabe se que Paulo tem 5 anos a mais que Diogo e que o quadrado da idade de Paulo está para o quadrado da idade de Diogo, assim como 9 está para 4. Podemos afirmar que Paulo tem:
a)12anos
b)14anos
c)15anos
d)16anos
e)18anos

Resposta:

Paulo------p
Diogo------d,logo vem:
p = d + 5

p² / d² = 9 / 4
p / d = 3 / 2
2p = 3d
p = 3d / 2
d + 5 = 3d / 2
2(d + 5) = 3d
2d + 10 = 3d
2d - 3d = -10
-d = -10
d = 10
p  = d + 5
p = 10 + 5
p = 15
letra c).

Os sócios e os dependentes

Sistema de Equações
Um clube ofereceu a seus associados um baile de Carnaval. Cada sócio titular pagou R$ 20,00 e seus dependentes apenas metade. Com os 1.200 participantes, o clube arrecadou R$ 18.000,00. O número de dependentes presentes nesse baile foi de:
a)520
b)600
c)740
d)800
e)940

Resposta:

Titular------x
Dependente-----y
x + y = 1200
x = 1200 - y,daí vem:

20x + 10y  = 18.000
20(1200 - y) +10y = 18000
24000 - 20y + 10y = 18000
-10y = 18000 - 24000
y = 6000 / 10
y  = 600
letra b).

O refrigerante e a batata frita

Sistema de Equações
Dois amigos foram a uma lanchonete. O primeiro pagou R$ 15,60 por 2 latas de refrigerantes e uma porção de batata frita. O segundo pagou R$ 27,60 por 3 latas de refrigerantes e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batata frita e o preço de uma lata de refrigerante era de:
a)R$3,20
b)R$3,50
c)R$3,75
d)R$4,80
e)R$5,00

Resposta:

R = Refrigerante
F= Fritas

[2R + F = 15,60
[3R + 2F= 27.60


[-4R -2F = -31,20
[3R + 2F = 27.60
-----------------------
-1R         = -3,60


R = 3,60logo vem:
2R + F = 15,60
F= 15,60 - 7,20
F= 8,40,daí:
8,40 - 3,60 = 4,80
letra e).



Quádruplo do suplemento

Geometria Plana
A medida de um ângulo é o quádruplo do seu suplemento.Quanto mede esse ângulo?
a)120º
b)125º
c)130º
d)135º
e)140º

Resposta:

x = 4(180 - x)
x + 4x = 720
x = 720 / 5
x = 140º
letra e).

Salário na lanchonete

Equação do 1ºGrau
8 pessoas trabalham numa lanchonete: 3 atendentes, o gerente, 2 ajudantes e 2 chapeiros.Para pagar estes funcionários o dono gasta R$5.280,00.As pessoas que trabalham na mesma função ganham o mesmo salário.O salario mensal de um atendente é de R$360,00 a mais que de um ajudante. O gerente ganha tanto quanto o chapeiro e um chapeiro ganha R$200,00 a menos que um ajudante. Qual o salário mensal de um atendente?
a)R$560,00
b)R$600,00
c)R$750,00
d)R$900,00
e)R$960,00

Resposta:

x------atendente
y------gerente
z------ajudante
t-------chapeiro,daí vem:
3x +1y + 2z + 2t = 5280



3(z + 360) + (z - 200) + 2z + 2(z - 200) = 5280


3z + 1080 + az - 200 + 2z + 2z - 400 = 5280


8z = 5280 + 400 + 200 - 1080


8z = 4800


z = 600


x = az + 360
x = 600+360
x = R$ 960,00
letra e).

Divisão do prêmio

Sistema de \equações
Lívia ganhou um prêmio no valor de R$5.000,00 e resolveu doar aos seus três filhos, da seguinte forma : Bruno recebeu R$300,00 a menos que Regis, que por sua vez , recebeu R$100,00 a mais que Lauro. É verdade que a quantia recebida por:
a)Lauro,foi de R$ 1.800,00
b)Lauro,foi de R$ 1.600,00
c)Regis,foi de R$1.700,00
d)Regis,foi de R$ 1.600,00
e)Bruno,foi de R$ 1.500,00

Resposta:

x------Bruno
y------Regis
z------Lauro
x + y + z = 5000
x = y - 300
y = z + 100
z = y - 100,daí vem:
y - 300 + y + y - 100 = 5000
3y = 5400
y = Regis = 1800
x = Bruno = 1800 - 300 = 1500
z = Lauro = 1800 - 100 = 1700
letra e).

Valor de n no intervalo

Progressão Aritmética
O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

Resposta:

Para ser progressão basta que:
a2 - a1 = a3 - a2,logo vem:
-5n - (2 + 3n) = (1 - 4n) - (-5n)
-9n = 3
n = -3 / 9
n = -1 / 3
daí temos -1 < n < 0
letra b).

Escolha das funcionárias

Análise Combinatória
Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, dentre as quais Diana e Sandra. O gerente da loja precisa escolher duas funcionárias para trabalharem no próximo feriado. Sandra e Diana trabalharam no último feriado e, por isso, não podem ser escolhidas.Sendo assim, de quantos modos distintos esse gerente poderá fazer a escolha?
a) 15
b) 28
c) 32
d) 45
e) 56

Resposta:

Fazendo as 8 funcionários como sendo A, B, C, D, E, F, G e H. Diana será a funcionária A e Sandra, a funcionária B. Como elas não poderão ser escolhidas, não consideraremos as letras A e B no cálculo. Vamos ver o total de possibilidades que teremos se a 1ª a ser escolhida for a funcionária C:

C e D;
C e E;
C e F;
C e G;
C e H.
logo serão 5 possibilidades.
para a funcionária D teremos as possibilidades:
D e E;
D e F;
D e G;
D e H.
logo serão 4 possibilidades
para a funcionária E teremos as possibilidades:
E e F;
E e G;
E e H.
logo serão 3 possibilidades
para a funcionária F teremos as possibilidades:
F e G;
F e H.
logo serão 2 possibilidades
para a funcionária G teremos a seguinte possibilidade:
G e H.
logo será de 1(uma) possibilidade
assim o gerente poderá ter uma combinação de 6 elememtos dois a dois,daí vem:
C6,2 = 6! / (6 - 2)! . 2!
C6,2 = 6! / 4! . 2!
C6,2 = 6 . 5 / 2.1
C6,2 = 30 / 2
C6,2 = 15
ou 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
letra a).







Percentual de área

Geometria Plana
(Faap-SP) Um outdoor retangular tem área A = base x altura. Se a base aumenta 50% e a altura diminui 50%, então a área:
a) não se altera;
b) diminuirá 25%;
c) aumentará 25%;
d) aumentará 50%;
e) diminuirá 50%;

Resposta:

 Tomaremos por exemplo 20cm de base por 10cm de altura,logo  a àrea tem  200 cm².
Aumentando 50% na base e diminuindo 50% na altura vai ficar 30 de base por 5 de altura ;
então a nova área fica com 150cm²;assim vem:
200cm²-------------100%
150cm²------------- x
x = 150 . 100 / 200
x = 75%
 então conclui-se que diminuiu 25%
letra b).

Achando o valor desconhecido

Expressão Numérica
O valor da  expressão  y =  8^(-2/3) + √0,25 + 4.(0,5)^4,é:
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1

Resposta:

(1/8)^²/³ + √1/4 + 4. (1/2)². (1/2)²



1/(³√2²/³ + 1/2 + 4. 1/4 .1/4


1/4 + 1/2+ 1/4
= 1
letra e).

Termos da soma

Progressão Aritmética
Quantos são os termos para que a soma 15+13+11+..., seja igual à -36 ?
a)21
b)20
c)19
d)18
e)15

Resposta:

Sn = (a1 + an)n / 2 onde sn = soma dos termos, a1 = primeiro termo, an = último termo, n = nº de termos



-36 = (15 + an)n/2


2.(-36) = (15 + an)n


-72 = (15 + an)n


pela fórmula do termo geral temos


an = a1 + (n - 1)r ,onde r é a razão
r = 13 - 15
r = -2
an = 15 + (n-1)(-2)
substituindo an na primeira equação temos:


-72 = [15 + 15 + (n-1)(-2)]n


-72 = [30 - 2n + 2]n


-72 = [32 - 2n]n


-72 = 32n - 2n²


2n² - 32 - 72 = 0


simplificando
n² - 16n - 36 = 0
n' =18
n'' = -2
mas, n tem de ser número natural então:
n = 18
letra d).

As pessoas e o alimento

Regra de Três
Num campeonato, há 48 pessoas e alimento suficiente para um mês. Retirando-se 16 pessoas para quantos dias darà o alimento?
a)25
b)20
c)15
d)14
e)13

Resposta:


Pessoas-------------------Mês



48--------------------------30


32-------------------------- x


48x = 30 . 32
48x = 960
x = 960 / 48
x = 20
letra b).







A velocidade e o tempo

Regra de Três
Um carro com velocidade constante de 100 km/h, vai da cidade A até a cidade B em 3 horas.Quanto tempo levaria esse mesmo carro para ir de A até B, se sua velocidade constante fosse 160 km/h?
a)50 minutos
b)1hora
c)1hora 40 minutos e 14 segundos
d)1hora 52minutos e 30segundos
e)1hora e 45minutos

Resposta:


Km/h---------- tempo (em horas)



100_________3


160_________x,grandezas inversas,logo:


100_________x


160_________3




100 . 3 = 160 . x
300 = 160x
x = 300 / 160
x =  1hora 52minutos e 30 segundos
letra d).







Tempo gasto pela vela

Regra de Três
Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 2h 36 minutos
d) 3h 20 minutos
e) 3h 18minutos

Resposta:

 1,8mm é igual a 0,18 centímetros.


0,18cm ----------- 1 minuto


36cm -------------- x






x = 36 / 0,18
x  = 200minutos
200 : 60 = 3h e 20minutos.
letra d).

Medida do terreno de Pedro

Problema Do 1ºGrau
João tem um terreno cuja área mede 468m² .O de Marcela tem o dobro da área do terreno de João; o terreno de Pedro tem um terço da área do terreno de Marcela. Pedro vai comprar metade do terreno de Marcela e ficará com um terreno:
a)de 639m²
b)de 312m²
c)que é menor que o de João
d)de 468m²
e)que é igual ao de João ,mais 1/3 da medida original do terreno de Marcela

Resposta:

João tem 468m²
se Marcela tem o dobro, o terreno dela é de 936m²
se Pedro tem 1/3 do de Marcela, ele tem 312m²
se ele vai comprar metade do de  Marcela, corresponde a 468
então ele  vai ficar com 312 + 468 = 780m² de terreno
assim:terreno de João = 468m²
1/3 do de Marcela = 312,logo:
468 + 312 = 780m²
letra e).

Soma negativa

Progressão Aritmética
Qual é o número mínimo de termos que devemos somar na P.A. (8,7,6,5,...), para obtermos uma soma negativa?
a)15
b)16
c)17
d)18
e)25

Resposta:

A soma dos termos de uma P.A. é dada por:

 Sn = (a1 + an) . n / 2 
e o termo geral é dado por:
an = a1 + (n - 1) . r 
r = 7 - 8
r = -1
Temos que:
Sn = (a1 + an) .n / 2,logo:
Sn = (a1 + a1 + (n - 1).r).n / 2
Sn = (8 + 8 + (n - 1).(-1)).n  /2
Sn = (16 - n + 1).n / 2
Sn = (17 - n) . n / 2
pede-se que Sn = (17 - n) . n/2 < 0, logo, como n > 0, então n / 2 > 0, e assim Sn será negativa se 17 - n < 0,assim vem:
17 - n < 0
17 < n
n > 17
como n é inteiro, e se quer o menor valor de n, então, n = 18
letra d).

Juros no trimestre

Percentagem
Qual os juros simples produzidos por um capital de R$ 1200,00 a taxa 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias?
a)R$432,00
b)R$423,00
c)R$342.00
d)R$324,00
e)R$234,00

Resposta:

Juros simples(J) = Capital(C) . taxa de juros(i) . tempo de empréstimo(t)

J = C . i . t / 100
4 meses e 15 dias = 4,5 meses 


por regra de três,temos:
4,5 meses ------ n trimestres


3 meses ----------- 1 trimestre
4,5 meses-----------x trimestre,daí:
x = 1,5 trimestre 
substituindo na fórmula,temos:
J = 1200,00 . 0,13 . 1,5
J = R$ 234,00
letra e).

A soma dos quadrados

Sistema de \Equações
A soma dos quadrados de dois números naturais é 125 e um deles é o dobro do outro. A quinta parte de um desses números é:
a)12
b)10
c) 8
d) 6
e) 2

Resposta:

x² + y² = 125



x = 2y


(2y)² + y² = 125


4y² + y ² = 125


5y² = 125


y² = 125 / 5


y² = 25


y = 5


x² + y² = 125


x² + 5² = 125


x² + 25 =125


x² = 125 - 25


x² = 100


x =10
letra e).

Números consecutivos

Problema do 1º Grau
A soma de três números consecutivos é -33. O maior deles é:
a) -14
b) -13
c) -12
d) -11
e) -10

Resposta:

Sejam x,y e z os três números;



fazendo:
x = a
y = a + 1
z = a + 2,temos:
x + y + z = -33,logo vem:
a + a + 1 + a + 2 = -33
3a + 3 = -33
3a = -33 - 3
3a = -36
a = -36 / 3
a = -12,então:
a = x = -12
y = a + 1==>y = -12 + 1 ==>y = -11
z = a + 2==> z = -12 + 2===> z = -10
letra e).

Determinando o valor da expressão

Equação Exponencial
(PUC-RS) Se 3^x  - 3^(2 - x) = 2³ , então 15 - x²vale ?

a)16
b)15
c)14
d)11
e)6

Resposta:

3^x - 3² / 3^x = 2³
3^x . 3^x - 3² = 2^3 . 3^x
fazendo 3^x = y,vem:
y² - 9 = 8y
y² - 8y - 9 = 0
y' = 9
y'' = -1(não serve),logo:
3^x = 9
3^x = 3²
x = 2,daí:
15 - (2)² = 15 - 4 = 11
letra d).

Ângulo pelo qual se vê a torre

Trigonometria
Sob que ângulo é vista uma torre de TV de 15m de altura se a distância entre o observador e o ponto mais alto da torre é de 30m?
a)90º
b)60º
c)45º
d)30º
e)10º

Resposta:

Temos que a altura (h) da torre é igual a 15 m. Sabemos, também, que a distância entre o observador e o ponto mais alto da torre é igual a 30 m. Logo, é possível visualizar um triângulo retângulo onde:

cateto (oposto ao ângulo a ser calculado, que corresponde à altura) = 15 m
hipotenusa = 30 m
sen x = cateto oposto / hipotenusa


sen x = 15/30
sen x = 1/2
x = 30º
letra d).

Descobrindo o número do telefone

Operando Com Frações
Adriane, que sempre gostou de brincar com códigos, deixou para Beatriz o seguinte recado:
"Bia descubra o telefone da Luciana!
Os dois primeiros algarismos são 6 e 5. Os três do meio são os que compõem o número cujo 4/7 são 348. Os três últimos são os que compõem os 2/3 do número que você encontrou antes.
Me liga. Vou estar na casa dela às 14 horas.
Beijos,
Adriane"
Qual é o telefone da Luciana?

a) 6560-8406.
b) 6560-9406.
c) 6560-9408.
d) 6560-8408.
e) 6560-8460.

Resposta:

Os dois primeiros algarismos são 6 e 5

Os três do meio são os que compõem o número cujo 4/7 são 348,logo vem:


4x / 7 = 348
x = 348. 7/4
x = 609
Os três últimos são os que compõem os 2/3 do número que você encontrou antes


2/3 de 609 ,fica:
2 . 609 / 3
1218 / 3 = 406
letra b).



Medida do ângulo externo

Geometria plana
Qual a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 5 diagonais?
a)72º
b)65º
c)62º
d)27º
e)26º

Resposta:


Ângulo Externo( a e) = Soma dos ângulos externos(se) / número de lados(n)
A soma dos ângulos externos(se) de qualquer polígono é igual a 360º
Número de diagonais(D) = n.(n - 3) / 2
daí:
5 = n(n - 3) / 2
n² - 3n -10 = 0
n = 5,logo vem:
ae = se / n
ae = 360 / 5
ae = 72
letra a).












Mistura dos líquidos

Sistema de Equações
Dois líquidos A e B são misturados na proporção 1:4 nessa ordem, para formar 60 litros de mistura. O número de litros do líquido A, contido na mistura é:
a)6
b)8
c)10
d)12
e)14

Resposta:

A / B = 1/4  
B = 4.A

A + B = 60
A + 4A = 60
5A = 60
A = 60/5
A = 12
letra d).

Quantos alunos há na sala?

Percentagem
Numa sala , 30% dos alunos devem fazer prova de recuperação , e os 28 alunos restantes não farão. Quantos alunos há nessa sala ?
a)30
b)32
c)35
d)40
e)45

Resposta:

30% . x + 28 = x

30% . x - x = -28


(0,3 - 1)x = -28


x = 28 / 0,7
x = 40 alunos
letra d).

Volume e área

Geometria Espacial
O volume de um cilindro com diâmetro igual a 66,3cm e altura 12,6cm,é:
a)64361,30cm³
b)63452,40cm³
c)46563,30cm³
d)43477,67cm³
e)36640,54cm³

Resposta:

π = 3,14



Diâmetro = d = 66,3 cm
Raio = r = d/2 = 33,15 cm
Área da base = Ab = (π . r²)
Altura = h = 12,6 cm


Sabemos que:


Volume = Área da base . Altura
ou
v = Ab . h,que substituindo fica:
v = Ab . h
v = (π . r²) . h
v = (π . (33,15)²) . 12,6
v = (π . (1098,92)) . 12,6
v = π . 1098,92 . 12,6
v = π . 13846,39
v = 13846,30π cm³
ou
v = 43477,67cm³
letra d).

Achando a fração geratriz

Dízima Periódica
O denominador da fração que gera a dízima periódica  2,3155...,é divisível por:
a)2
b)3
c)4
d)13
e)17

Resposta:

2,3155... = 2 + 315 - 31/900 =
2 + 284/900 =
1800 + 284 /900 =
2084 / 900 =
521/ 225
letra b).

Acertos nos arremessos

Proporção
Em um jogo de basquete Eduardo arremessou 15 bolas em lances livres e acertou 9.No mesmo jogo,Lúcio arremessou 20 bolas em lances livres e teve o mesmo aproveitamento de Eduardo.Quantos lances livres Lúcio acertou?
a)4
b)8
c)12
d)16
e)20

Resposta:

15<---------->9



20<---------->x


15x = 180


x = 180 / 15


x = 12
letra c).

Operando com grau,minuto e segundo

Grau, Minuto e Segundo
Ao transformar 24576" em grau, minuto e segundo,encontramos:
a)7º 46' 37"
b)7º 47' 36"
c)6º 49' 37"
d)6º 49' 36"
e)5º 46' 37"

Resposta:

Veja bem:

24576 : 60" = 409,6 minutos(já que 60" é igual a 1 minuto),mas:
0,6 minuto = 36 segundos,pois:


se 1 minuto-----60 segundos


0,6 minuto-----x, daí vem:
x = 36"


como 409 é maior que 360,vamos tirar,360 dele,logo fica:
409 - 360 = 49 minutos,mas:


se 1grau-----60'


x -----------360',assim temos:


x = 360 / 60


x = 6 graus,finalmente temos:
24576" = 6º 49' 36"
letra d).

Logarítmo na base 10

Logarítmos
Ao calcular o log 10000000000,encontramos:
a)10000
 b)1000
c)100
d)10
e)0,1

Resposta:

10^x = 10000000000
10000000000 = 10^10,logo:
10^x = 10^10
x = 10
letra d).

Taxa de juros anual

Juros Simples
O valor de R$620,00 aplicado a juros simples durante 3 anos,1 mês e 20 dias,rendeu de juros R$980,00.A taxa de juros anual,foi de aproximadamente:
a)50,36%
b)51 %
c)51,5%
d)51,6%
e)51,8%


Resposta:

tempo = 3 . 360 + 1 . 30 + 20 = 1080 + 50 = 1130 dias
c = 620
j = 980

J = c.i.t/100
980 = 620.i.1130/100
980 = 62.i.113
980 = 7006i
i = 980/7006
i = 360 . (980/7706)
t = 50,36%a.a
letra a).

Dobrando em três partes iguais

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