Transformando em Produto de Fatores

Fatoração
Seja Ψ = x y - 5 x + 4 y - 20. O valor de Ψ para (-5 + y ) = 0, é:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

Resposta:

Ψ = x(y - 5) + 4(y - 5)
Ψ = (x + 4) . (y - 5)
se (-5 + y ) = (y - 5) = 0, então vem:
Ψ = (x + 4) . (0)
Ψ = zero.
letra a).

Operação Algébrica

Fatoração
Seja z = x² - y² + 2x - 2y. O valor de z /(x-y) para x + y = 5, é:
a)7
b)17
c)6
d)16
e)11

Resposta:

z = (x+y)(x-y) + 2(x-y)
z = [x-y] . (x+y + 2)
mas,x+y = 5
z = [x-y] . (5 + 2)
z = [x-y] . 7
z / (x-y) = ?
[x-y] .7 / (x-y)
=7.
letra a).

A Oitava Parte

Equação do 2º Grau
Qual é o número,diferente de zero, tal que o dobro do seu quadrado é igual à sua oitava parte?
a)1
b)2
c)1/16
d)2/13
e)3

Resposta:

2x² = x/8
x = 0
e
2x²/x = 1/8
2x = 1/8
x= 1/2.8
x = 1/16 --->que é o número procurado.
letra c).

O Ponto Médio - Valores Desconhecidos

Geometria Analítica

Considere os pontos x (0,0) e y (m,8) sabendo que Z (m,n+3) é ponto médio de x e y , então o ponto Z,é:

a)(0,4)

b)(0,1)

c)(1,1)

d)(1,2)

e)(2,1)

Resposta:

Se Z é ponto médio de (x,y) é porque:
(0+m)/2 = m
e (0+8)/2 = n+3,logo:
m/2 = m---->m = 2m--->m - 2m = 0 --> m= 0
8/2 = n+3
4 = n + 3---------->n =4-3------>n = 1
solução: Z(0,4),pois m = 0 e n = 1--->letra a).


A Função e o Parâmetro

Função do 1º Grau
Qual o valor de m na função y = (2m-1)x + 3 para que ela seja do 1° grau?
a)m ≠ 1/2
b)m ≠ 1
c)m ≠ 2
d)m ≠ 3
e)m ≠ 1/3

Resposta:

forma da equação do 1º grau: y = a x + b
se a for igual a zero ,ela deixa de ser do 1º grau .
Daí a tem que ser diferente de zero ,assim temos:
2 m - 1 ≠ 0
2 m ≠ 1
m ≠ 1/2
para ser do 1º grau m tem ser diferente de 1/2.
letra a).

O Quadrado e a Diferença

Problema do 2º Grau

Um número mais treze é igual ao quadrado da diferença entre 7 e o número. O menor número que satisfaz esta equação é:

a)12

b)7

c)6

d)4

e)3

Resposta:

x +13 = (7-x)²
x + 13 = 49 -14x + x²
-x² + 14x +x + 13 - 49 = 0
-x² + 15x - 36 = 0
x² - 15x + 36 = 0
(15 ±√81)/2
x' = 12
x'' = 3
o menor número é 3---->letra e).

Progressão Crescente

Progressão

O terceiro termo uma P.A crescente de três termos, onde a soma desses termos é 3 e o produto -8, é :

a)-2

b)4

c)6

d)7

e)-10

Resposta:

a1 = x-r; a2 = x e a3 = x+r
x -r + x + x + r = 3
3x = 3
x = 3/3
x =1
(x -r) . x . (x +r) = -8
(1 -r) . 1 . (1 +r) = -8
1 - r² = -8
r² = 1 + 8
r² = 9
r =±√9
r =±3
Se a P.A. é crescente a razão só poderá ser igual a r = 3.
Logo a P.A será:a1 = x - r ==> a1 = 1 -3 ==> a1 = -2
a2 = x ==> a2 = 1
a3 = x +r ==> a3 = 1 + 3 ==> a3 = 4
letra b).

Número Negativo - Raíz Quadrada

Equação do 2º Grau
A solução da equação -(x+3)² = 4 em R, é:
a)um número par
b)um número primo
c)±2
d)não existe raiz real
e)±3

Resposta:

multiplicando por (-1),temos:
(x+3)² = - 4
(x+3) = ±√-4 --> que não existe em R ---->letra d).

Meios Geométricos

Progressão
Ao inserir 6 meios geométricos entre 3 e 384,qual o quarto termo da P.G?
a)24
b)28
c)38
d)49
c)128



Resposta:

a1=3
an= 384
n = 8
q = ?
an= a1 . q^ n - 1
384 = 3 . q^ 7
384= 3q^7
q^7 = 384/3
q^7 = 128
q^7 = 2^7,
q = 2
a4 = a1.q³
a4 = 3 . 2³
a4 = 3 . 8
a4 = 24.
letra a).

O Marcineiro e os Armários

Sistema de Equação

Um marceneiro fabrica 2 tipos de armário (A e B). Em uma semana ele montou 20 armários em 50 horas de trabalho. Sabendo que o tempo gasto para a montagem do armário A é de 3 horas e do armário B é de 2 horas, quantos armários do tipo A ele montou?

a)10

b)12

c)13

d)14

e)15


Resposta:

A+B = 20, ---->A = 20 - B
3A + 2B = 50,
3(20 - B) + 2B = 50
60 - 3B + 2B = 50
-B = 50 - 60
-B = -10
B = 10
A = 20 - B
A = 20 - 10
A = 10--->letra a).


O Triângulo e sua Hipotenusa

Relações Métricas

Um triângulo retângulo tem hipotenusa c e lados a e b. Sabendo que ab = 3/4 e que a + b = 2 , determine o valor da sua hipotenusa.

Resposta:

c² = a² + b²
a = 2 - b
(2 - b)b = 3/4
2b - b² = 3/4
-4b² + 8b - 3 =0
4b² - 8b + 3 = 0
logo:a = 1/2 e b = 3/2
c² = 1/4 + 9/4
c² =10/4
c = ±√(10/4)
c = √10 / 2.

Valor Procurado

Fatoração

Se a = 7(x²)² , b = 56 x e y = (a+b) /7x(x²-2x+4), o valor de x ,para y = 3,é:

a)1

b)2

c)1/2

d)3

e)3/2

Resposta:

y = 7x(x³ + 8) / 7x (x² - 2x + 4)
y = 7x[x + 2] (x² - 2x + 4) / 7x (x² - 2x + 4)
como y é igual a 3, temos:
3 = [x + 2]
x = 1--->letra a.

O Seno e o Cosseno

Equação Trigonométrica


Qual o valor de x² - 2 sen∂ x - cos²∂ = 0, na variável x ?



Resposta:



x² - 2sen∂ x - cos² ∂ = 0, temos:

a = 1; b = -2sen ∂ e c = -cos²∂

(-b ± √b² - 4ac) / 2

[2sen ∂ ±√(4.sen² ∂ + 4cos² ∂)] / 2

[2 sen ∂ ± √4 (sen² ∂ + cos² ∂)] / 2

[2 sen ∂ ± 2 . 1] / 2

x' = [2 sen ∂ + 2] / 2

x' = sen ∂ + 1 e x'' = sen ∂ - 1.




Relações Derivadas

Trigonometria
Se cos x = - 3/5 e x esta no 3º quadrante, qual o valor de :
a)senx ?
b)sec x ?
c)cossec x ?
d)tg x ?
e)cotg x ?


Resposta:

Pela Relação Fundamental,temos:
a)sen² x + cos² x = 1
sen² x = 1 - cos² x
sen x = ±√1 - cos² x
sen x = ±4/5
sen x = - 4/5 ,pois só serve o valor que está no 3º Q(no 3ºQ senx é negativo)daí,vem:
b)sec x = 1/cos x---->sec x = -5/3
c)cossec x = 1/sen x----->cossec x = -5/4
d)tg x = sen x / cos x-----> tg x = 4/3
e)cotg x = 1 / tg x------->cotg x = 3/4.

Inteiro e Positivo

Grandezas Proporcionais

São dados dois números inteiros, x e y, positivos, em que x está para y assim como 1 está para 2. Se ao quadrado do número x acrescentarmos o número y, obteremos 35. A soma de x e y,é:

a)15

b)14

c)13

d)12

e)11

Resposta:

x/y =1/2----------->x = y/2
x² + y =35
y²/4 + y = 35
y² + 4 y = 140
y² + 4 y - 140 = 0
(-4 ±√16 +560) / 2
y' = (-4 + 24) / 2
y' = 10
y'' = -14-->x = 10/2= 5------>10 + 5 = 15---->letra a).


Diferença entre duas Funções

Função
Seja f ( x ) = 2 x ² - 1 , qual o valor de f (x + 3 ) - f (x ) ?

Resposta:

f ( x ) = 2 x ² - 1
f (x + 3 ) = 2 (x + 3 ) ² - 1
f (x + 3 )= 2 (x²+6x + 9)- 1
f (x + 3 )= 2x²+12x +18- 1
f (x + 3 )= 2x²+12x +17
f (x + 3 ) - f (x ) =
2x²+12x +17-( 2 x ² - 1) =
2x²+12x +17-2 x ² +1=
12x +18
6(2x + 3).

A Tangente e o Cosseno

Trigonometria

Se senx = 2/5 e x está no 2º quadrante, então y = tgx . cosx /( cos²x - 1 ),vale :
a)21

b)12

c)3/4

d)-3/5

e)-5/2

Resposta:

y = sen x / cos x . cos x /( cos² x - 1 )
y = sen x /( cos² x - 1 )
mas, 4 / 25 + cos² x = 1
cos² x = 1 - 4 /2 5
cos² x = 21 / 25
daí,temos: y = sen x / (cos² x - 1)
y = 2/5 / (21 / 25 -1)
y = 2/5 . -25/4
y = -5/2--->letra e).

A Praia e sua Distância

Trigonometria

Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em uma ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45° em relação à horizontal.Qual é a distância da torre à praia?

a)10m

b)20m

c)30m

d)40m

e)50m


Resposta:

Temos um triângulo retângulo, onde há dois ângulos de 45º.
daí:
tg 45º = x / 50
1 = x / 50
x = 50 m----->letra e).


Expoente Fracionário



Operação com Fração

O valor de y em (1/64)¹/ ³ = y + 0,25 é:

a)um número ímpar

b)zero

c)1/4

d)0,25

e)um número complexo


Resposta:

(1/4³)¹/³ = y + 0,25
1/4 = y + 0,25
0,25 - 0,25 = y
y = 0----->letra b).















































Solução Real

Equação Irracional

Dada a equação (x+13 )¹/ ² + x = 7,podemos dizer que é :

a)racional e sua solução é 12

b)irracional e sua solução é 12 e 4

c)racional e sua solução é 12 e 3

d)racional e sua solução é 4

e)irracional e sua solução é 3.

Resposta:

Passando x para 2º membro e elevando ao quadrado ambos os membros,temos:
x +13 = (7-x)²
x + 13 = 49 -14x + x²
-x² + 14x +x + 13 - 49 = 0
-x² + 15x - 36 = 0
x² - 15x + 36 = 0
(15 ±√81)/2
x' = 12
x'' = 3--->letra e)

As Medidas do Triângulo Retângulo

Geometria Plana

Em um triângulo retângulo as medidas dos três lados, em centímetros, são números pares consecutivos. Quais são essas medidas?

Resposta:

os lados: x , x+2 e x+4
(x)² + (x+2)² = (x + 4)²
x² + (x+2)(x+2) = (x + 4) (x + 4)
x² + x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4x + 16
2x² + 4x + 4 = x² + 8x + 16
2x² - x² + 4x - 8x + 4 - 16 = 0
x² - 4x -12 = 0
x' = 12/2
x' = 6
despreza-se x'' por ser negativo, logo os números são: x = 6 cm; x+2 = 8 cm e x + 4 = 10 cm.

O Número e o Quíntuplo de sua Raíz

Equação Irracional


Um número positivo somado a cinco vezes a sua raíz quadrada é igual a 50. Qual é esse número?

Resposta:

x---> o número
5√x----->cinco vezes a sua raíz quadrada, logo:
x + 5√x = 50
fazendo x = k²,temos:
k² + 5k = 50
k² + 5k - 50 = 0
(-5 ±√225) / 2
(-5 ± 15) / 2
k' = 10/2---->k' = 5
se x = k²===>x = 5²
x = 25, que é o número procurado.

Função Tangente

Trigonometria
Estando x no intervalo [ 0 , 2π ] resolva a equação :
(tg x -1) (tg x- (√3) = 0


Resposta:

(tg x - 1)(tg x - √3) = 0
tg x - 1 = 0---------> tg x = 1,logo x = π / 2 ou x = 5π / 4,pois somente nos 1º e no 3º quadrante a tg x é positiva.
tg x - √3 = 0-------> tg x = √3,logo x = π / 3 ou x = 4π /3,pois somente no 1º e 3º quadrante a tg x é positiva.

O Preço Cobrado

Relação Trigonométrica
De uma ponta da praia avista-se com um ângulo de 45°, em relação a horizontal, o alto de uma torre de 50m. A torre fica numa ilha.Para transportar material da praia à ilha, um barqueiro cobra R$0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz ?
a)R$14,00
b)R$15,00
c)R$16,00
d)R$17,00
e)R$18,00

Resposta:

tg 45º = 50 / x
√2 / 2 = 50 / x
√2 x = 100
x = 50√2 m
se √2 = 1,4(aproximadamente).
x = 50.1,4
x = 70 m
mas ,70 . 0,20 = R$14,00
letra a).

Quando o Soldado é igual ao Cabo

Mínimo Múltiplo Comum
Em uma unidade do Exército, a soma do efetivo formado por soldados e cabos é de 65. Em determinado dia, 15 soldados não apareceram ao expediente. Em consequência dessas faltas, o efetivo de cabos ficou igual ao efetivo de soldados presentes naquele dia. Qual é o mínimo múltiplo comum entre número total de soldados e cabos, desta unidade militar?
a)280
b)260
c)200
d)240
e)220

Resposta:

65 - 15 = 50
naquele dia ficaram 25 cabos e 25 soldados;
logo na unidade militar,existem 25 cabos e 40 soldados;
mmc(40,25) = 2³ . 5² -----> mmc = 8 . 25 = 200-->letra c).

O Seno e a Tangente

Trigonometria

(Fuvest) O dobro do seno de um ângulo x , com x no 1º quadrante, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente.Logo, o valor de seu cosseno é:

Resposta:

2 sen x = 3 . tg² x
cos x ?
2 sen x = 3 sen² x / cos² x
2 cos² x = 3 sen² x / sen x
2 cos² x = 3 sen x
cos² x = 3 sen x / 2, mas cos² x = 1 - sen² x, logo:
1 - sen² x = 3 sen x / 2
2 - 2 sen² x = 3 sen x--->multiplicando por (-1) e organizando vem:
2 sen² x + 3 sen x - 2 = 0
(3 ± √25) / 4
sen x' = (-3 + 5) / 4
sen x' = 1 / 2,valor que interessa pois o ângulo está no 1º quadrante.
Como cos² x = 1 - sen² x, temos:cos² x = 1 - 1/4
cos² x = 3/4
cos x = ±√3/2,mas só interessa o valor positivo pois o ângulo está no primeiro quadrante. Enfim cos x = +√3/2.



O Suplemento de um Ângulo

Operação com Ângulo
Qual o suplemento do ângulo que mede 28º 45' ?

Resposta:

180º---->179º 59' 60'' , logo fica:
179º 59' 60''
- 28º 45' 00''
---------------
151º 14' 60''---->151º 15' que é o suplemento procurado.

Expressão Fatorável

Fatoração
Simplificando a fração (a²+7a+12) / (a²+6a+9),encontramos:
a) (a+4) / (a+3)
b) 12 / 9
c)19 / 15
d)(a+7) / (a+6)
e)4 / 3

Resposta:

(a + 3)(a + 4) / (a + 3)²
(a + 4) / (a + 3)---->letra a).

A Soma do Dobro

Equação Irracional
Qual é o número,diferente de zero, cuja soma do dobro da raíz quadrada com 1/3 do número é igual ao próprio número?
a)9
b)8
c)7
d)6
e)5


Resposta:

o número----->x
dobro de sua raíz quadrada-------->2 √x
1/3 do número----->(1/3)x, daí vem:
2 √x + (1/3)x = x
6 √x + x = 3x
6 √x = 2x
fazendo x = t²,obtemos:
6 √t² = 2t²
2t² - 6t = 0
2t(t - 3) = 0
2t = 0------>t = 0
t - 3 = 0 ------->t = 3,então:
x' = 0² ---->x' = 0
x'' = 3²---->x'' = 9---->letra a).

O logaritimando e a Base

Logarítmo
O valor de log 243 + log 256,na base 3 e 2,respectivamente é:
a)13
b)12
c)11
d)9
e)8

Resposta:

243 = 3^5
256 = 2^8
logo temos:
5log 3 + 8log 2 ----->com log 3 na base 3 e log 2,na base 2,fica:
5.1 + 8.1
5 + 8
= 13---->letra a).

Números Pares e Consecutivos

Problema do 1º Grau
Se três números naturais são pares e consecutivos tais que o triplo do menor é igual a soma dos outros dois, então o maior deles é igual à:
a)10
b)20
c)21
d)8
e)9

Resposta:

x
x + 2
x + 4
3x = x + 2 + x + 4
3x = 2x + 6
x = 6
x + 2 = 8
x + 4 = 10----> que é o maior;
letra a).

A Marca do Sabão

Sistema de Equações
Em um supermercado , foram vendidas 228 caixas de duas marcas de sabão em pó. "lava azul" vendeu o triplo do que vendeu "lava verde" . Quantas caixas foram vendidas do sabão tipo "lava azul"?
a)171
b)58
c)85
d)90
e)30

Resposta:

x + y = 228
x = 3y
3y + y = 228
4y = 228
y = 57.
logo vem:
x = 3. 57
x = 171--->letra a).

A Função Derivada

Derivada
A derivada primeira de f(x)= 2x²+1, é:
a)4x
b)2x³
c)2x
d)2x²+ 1
e)4x + 1


Resposta:

f(x)= 2x²+1
f '(x)= 4x---->letra a).

O Ângulo e seu Complemento

Operação com Ângulo
Qual o complemento do ângulo que mede 45º 28''?

Resposta:

90 º---->89º 59' 60'', logo fica:
89º 59' 60''
-45º 00'28 "
-------------
44º 59' 32'' ----->que é o complemento procurado.

Equação do 2º grau - solução

Equação do 2º Grau
Qual a solução da equação 13 -2x - 15 x² = 0

Resposta:

a = - 15 ; b = - 2 e c = 13
-15x² -2x + 13 = 0
15x² + 2x - 13 = 0(-2 ±√4 + 60 . 13) /30
(-2 ±√784) / 30
(-2 ± 28) /30
x' = 26 / 30
x' = 13 / 15
x'' = -30 / 30
x'' = -1
solução: x' = 13 / 15 e x'' = -1.

A Reta e sua Equação

Geometria Analítica

A equação da reta que passa pelo ponto P (-2, 1) e tem coeficiente angular m = -3, é:

a) y = -x - 5

b) y = 3x + 5

c) y = -3x + 5

d) y = -3x - 5

e) y = -5x +3

Resposta:

(y - y0) = m (x - x0)
y - 1 = -3 (x + 2)
y = -3 x -6 + 1
y = -3 x - 5====>letra d)

A Queda do Dólar

Percentagem

Em março de 2009 o dólar chegou a ser cotado a R$ 2,44 e em um dia do mês de junho de 2009,caiu para R$ 1,92. O percentual de queda foi de :

a)24,4%

b)21,3%

c)19,2%

d)18,68%

e)17,6%

Resposta:

2,44--------------->100 %
1,92---------------> x
x = 192 / 2,44
x = 78,69 %
logo: 100% - 78,68% = 21,3 % ----->que é o percentual de queda(letra b).

Os Números Consecutivos

Equação do 1º Grau

A soma de três números naturais e consecutivos é 402. Quais são esses números?

Resposta:

Sejam os números: x-1, x, x+1, assim:
x-1 + x + x + 1= 402
3x=402
x=402/3
x=134,
logo os números são:(x-1) =133, x = 134 e (x+1) = 135.

Dobrando em três partes iguais

Sistema de Equações Com uma folha de papel em forma retangular Rui observou o seguinte: dobrou a folha ao meio no comprimento e na largura...